Title: ETH_Sem4 / TDW / Woche_09

Q: Definition [...]:
[...]  [...]
A: Helmholtz Freie Energie; \(F(T,V,N) := -U^{*(S\to T)}(T,V,N)\); \(= -pV + \mu N\)

Q: totales Differential der Inneren Energie:
[...]
A: \(dU = TdS - pdV + \mu dN\)

Q: totales Differential Helmholtz Energie:
[...]
A: \(dF = -pdV + \mu dN - SdT\)

Q: Definition [...]:
[...] [...]
A: Enthalpie; \(H(S,p,N) = -U^{*(V\to p)}(S,p,N)\); = \(TS + \mu N\)

Q: totales Differential Enthalpie:
[...]
A: \(dH = TdS + Vdp + \mu dN\)

Q: Definition [...]:
[...] [...]
A: Gibbs'sche freie Energie; \(G(T,p,N) = -U^{*(V\to -p, S \to T)}(T,p,N)\); \(=\mu(T,p)N\)

Q: totales Differential Gibbs'sche freie Energie:
[...]
A: \(dG = -SdT + Vdp + \mu dN\)

Q: Definition [...]
[...][...]
A: Grosskanonisches Potential:; \(\Omega(T,V,\mu) = -U^{*(S\to T, N\to \mu)}(T,V,\mu)\); = \(-p(T,\mu) V\)

Q: totales Differential Grosskanonisches Potential:
[...]
A: \(d\Omega = -SdT -pdV - N d\mu\)

Q: Eigenschaften Konvexität über Legendre-Transformation:
- [...]
- [...]
A: Im transformierten Argument: Konvex \(\to\) Konvex; In anderen Argumenten: Konvex \(\to \) Konkav

Q: Beispiel: Herleitung Extremalitätsprinzip freie Energie
[...]
[...]
A: \(\frac 1 2 F(T,V',N') + \frac 1 2 F(T, V'', N '') \ge F(T,\frac 1 2 (V' + V''), \frac 1 2 (N' + N''))\); Die ugl ist direkte Folge der Konvexität in V und N

Q: Äquivalente Bedingung Konkavität der Entropie:
[...]
mit [...]
A: \(\partial^2 S = \begin{pmatrix} \dede{^2S}{U^2} & \dede{^2 S}{U \partial V} \\ \dede{^2S}{V\partial U} & \dede{^2S}{V^2 } \end{pmatrix} \leq 0\); \(\partial^2 S\) die Hessematrix

Q: Eigenschaften der Entropie-Hessematrix:
[...]
[...]
A: \(\dede{^2S}{U^2} \leq 0\); \(det(\partial^2 S) \ge 0\)

Definition Kompressibilität und Wärmekapazität:
\(C_V := \frac{\delta Q}{\delta T}\big|_V \)\(=\dede{U}{T}\big|_V\)
\(C_p := \frac{\delta Q}{\delta T}\big|_p\) \(= \dede{(U + pV)}{T}\big|_p\)
\(\kappa_T : = -\frac{1}{V}\dede{V}{p}\big|_T\)

Q: Stabilitätsbedingungen:
[...]
[...]
[...]
A: \(C_V \ge 0\); \(\kappa_T \ge 0\); \(C_p \ge 0 \)

Q: [...]:
[...]
A: Clausius-Clapeyron; \(\dede{p}{T} = \frac{L_{12} }{T(V_2-V_1)}\)