Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche10_11

Folgende Betriffe der Stetigkeit auf einer Matrix-Lie-Gruppe sind äquivalent:
1. Seien \(G\subset \GL(n, \C), H \subset \GL(m,\C)\), dann ist eine Abbildung \(\phi: G\to H\) stetig an \(g \in G\), falls \(\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta >0\), sodass\[\abs{d(g,g')} < \delta \implies \abs{d(\phi(g), \phi(g'))} < \varepsilon\]
2. Ein Pfad \(\gamma:[0,1] \to G \in \GL(n,\C)\) ist stetig  \(\iff\)alle Matrixelemente \(\gamma_{ij}:[0,1]\to \C, \ i,j=1,...,n\)  sind stetig.
3. Ein Gruppenhomomorphismus ist stetig, wenn er stetig am Einselement ist.

Q: Sei \(G \subset \GL(n,\K)\) eine Untergruppe. Dann sind
\[\begin{align*}&&&&G & \to G & g &\mapsto [...],&&&&\\&&&&G\times G & \to G & (g, h) &\mapsto [...],&&&&\end{align*}\][...].
A: g^{-1}; gh; stetige Abbildungen

Sei \(G\) eine Untergruppe von \(\GL(n,\K)\). Für \(A,B \in G\) schreiben wir\[A\sim B \iff \exists \gamma:[0,1] \to G \text{ stetig mit } \gamma(0)=A, \gamma(1)=B.\]Wir nennen \(G/\sim\) die Menge der Wegzusammenhangskomponenten von \(G\). Die Äquivalenzklasse von \(\Id\) nennen wir \(G_0\), \(G/G_0\) bezeichnet somit die Menge der Zusammenhangskomponenten von \(G\).

Q: \(G_0\), die Äquivalenzklasse mit der \([...]\), ist ein [...] von \(G\).
A: \Id; Normalteiler

Ein reeller (oder komplexer) Vektorraum \(\g\) ist eine Lie-Algebra, falls \(\g\) versehen ist mit einer bilinearen Abbildung \([\:\cdot,\cdot\:]: \g \times \g \to \g\) mit folgenden Eigenschaften:
1. \([X,Y] = -[Y,X]\)
2. \([[X,Y],Z] + [[Z,X],Y] + [[Y,Z], X] = 0\)
Die Abbildung \([\:\cdot,\cdot\:]\) nennt man Lie-Klammer.

Q: Sei \(G\) eine Matrix-Lie-Gruppe. Wir schreiben\[\Lie(G) := [...]\]
A: \set{X'(0)}{X:(-\varepsilon, \varepsilon)\to G, \text{ einfach differenzierbar mit } X(0)=\Id}

Q: Für \(X = (X_{ij}) \in Mat_n(\C)\) definieren wir die Norm\[\norm{X}=[...]=[...].\]
A: \bk{\sum_{i,j=1}^n|x_{ij}|^2}^{1/2}; \sqrt{\tr (X^*X)}

Q: \(\norm{XY}\leq[...],\quad\forall X,Y\in Mat_n(\C)\).
A: \norm{X}\norm{Y}

Q: Die Reihe\[\exp(X)=[...]\]konvergiert absolut für alle \(X\in Mat_n(\C)\). Die Abbildung \(Mat_n(\C) \to \GL(n,\K)\), \(X\mapsto\exp(X)\) heisst Exponentialabbildung.
A: \sum_{k=0}^\infty{1\over k!}X^k

Seien \(X,Y\in Mat_n(\C)\).
1. \(\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)\) falls \([X,Y] = 0 \Leftrightarrow XY=YX\)
2. \(\exp(X)\) ist invertierbar, \(\exp(X)^{-1}=\exp(-X)\)
3. \(A\exp(X)A^{-1}=\exp(AXA^{-1}),\quad A\in \GL(n,\K)\)
4. \(\det(\exp(X))=\exp(\tr(X))\)
5. \(\exp(X^*)=(\exp(X))^*\), \(\exp(X^T)=(\exp(X))^T\)

Beispiel:
\(\exp\bigg({0\atop 0}{a\atop 0}\bigg)={\Id}+\bigg({0\atop 0}{a\atop 0}\bigg)=\bigg({1\atop 0}{a\atop 1}\bigg)\). Allgemein für nilpotente Matrizen \(N\) ist \(\exp(N)\) ein Polynom in \(N\):\[\exp(N)={\Id}+N+{N^2\over 2!}+\cdots+{N^k\over k!} \]

Q: Beispiel Matrixexponential:
Sei \(X=i\sum_{j=1}^3n_j\sigma_j\), \(|n|=1\). Dann ist \(X^2=[...]\) und\[\exp(\vartheta X)=[...] = [...].\]
A: -{\Id}; \cos\vartheta\,{\Id}+\sin\vartheta\,X; \cos \vartheta\, \Id + i \sin \vartheta\, \hat{n}

Matrizenlogarithmus: Die Abbildung\[\exp: M_n(\C)\to \GL(n,\K)\]ist in einer Umgebung von \(0\) invertierbar, d.h es existiert eine Umgebung \(U\) von \(0\) so dass die Abbildung \(\exp:U\mapsto\exp(U)\) invertierbar ist. Die inverse Abbildung ist durch eine absolut konvergente Potenzreihe gegeben.

Eine Abbildung \(\R\to \GL(n,\C)\), \(t\mapsto X(t)\) heisst Einparametergruppe falls
1. sie stetig differenzierbar ist
2. und ein Gruppenhomomorphismus ist, also \(X(0)={\Id} \) und für alle \(t,s\in\R\) \(X(s+t)=X(s)X(t)\) erfüllt.

1. Für \(X_0 \in M_n(\C)\) ist \(t\mapsto\exp(tX_0)\) eine Einparametergruppe.
2. Alle Einparametergruppen sind von dieser Form mit einem geeigneten (infinitesimalen) Erzeuger \(X_0 \in M_n(\C)\).

Q: Die [...]von einer Matrix-Lie-Gruppe \(G\subset \GL(n,\K)\) ist\[\Lie(G) = \g =[...].\]
A: Lie-Algebra; \set{X_0\in M_n(\C)}{\exp(tX_0)\in G\;\forall t\in\R}

Die Lie-Algebren von \(U(n)\) und \(\SU(n)\) sind explizit gegeben durch:\[\begin{align*}\mathfrak{u}(n)&=\{X\in M_n(\C)\,|\,X^*=-X\}  \\\su(n)&=\{X\in M_n(\C)\,|\,X^*=-X,\;\tr X=0\} .\end{align*}\]Die Dimension des reellen Vektorraums \(\mathfrak{u}(n)\) (bzw. \(\su(n)\)) ist \(n^2\) bzw. \(n^2-1\).

Q: Die Lie-Algebren von \(\O(3)\) und \(\SO(3)\) sind [...]:\[\mathfrak o(n)=[...].\]
A: identisch; \so(n)=\{X\in M_n(\R)\,|\,X^T=-X\}

Q: Sei \(G\) eine abgeschlossene Untergruppe von \(\GL(n,\K)\). Dann ist \(\Lie(G)\) eine reelle Lie-Algebra/ein reeller Vektorraum und mit dem [...] als Lie-Klammer:\[[X,Y] = [...] \in \Lie(G), \quad \forall X,Y \in \Lie(G)\]
A: Matrix-Kommutator; XY-YX

Campbell--Baker--Hausdorff
Seien \(X,Y\in Mat_n(\C)\), dann gilt für kleine \(t \in \R\):\[\exp(tX)\exp(tY)=\exp\bk{\sum_{k=1}^\infty t^kZ_k} \]wobei \(Z_k\) Linearkombinationen von \((k-1)\)-fachen Kommutatoren sind, d.h. von Ausdrücken, die aus \(X\) und \(Y\) durch (\(k-1\))-fache Anwendung der Operatoren \([X,\cdot],[Y,\cdot]\) erzeugt werden. Die Reihe konvergiert für genügend kleine \(t\).

Q: Miniversion von CBM
Seien \(X,Y\in Mat_n(\C)\), dann gilt für kleine \(t \in \R\):\[\exp(tX)\exp(tY) = \exp\left([...]+O(t^3)\right)\]
A: tX+tY+{t^2\over 2}[X,Y]

Q: Abgeschlossenheit des Kommutators
Der Kommutator \([X,Y]\) ist in \(\g\)) Wir wollen zeigen, dass \(X,Y\in\Lie(G)\Rightarrow[...]\in\Lie(G)\) gilt.
A: [X,Y]

Q: Rekonstruktion von \(G_0\)
Sei \(G\subset \GL(n,\K)\) eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra \(\g\subset \gl(n,\K)\). Die Gruppe aller Matrizen der Form\[[...]\]ist gleich \([...]\) [...]
A: \exp(X_1)\cdots\exp(X_k),\qquad X_1,\ldots,X_k\in\g,\quad k\geq 1,; G_0 =; die Zusammenhangskomponente von \({\Id}\in G\).

Jede unitäre Matrix ist von  der Form  \[U=A\,{\rm diag}\,(e^{i\varphi_1}, \ldots,e^{i\varphi_n})A^{-1} ,\qquad A\in U(n). \] Also ist \(U=\exp(X)\),  \(X=A\,{\rm diag}\,(i\varphi_1,\ldots,i\varphi_n)A^{-1} \) und \(\exp(tX)\)  ist eine Einparametergruppe in \(U(n)\). Es folgt, dass  \(\exp:\mathfrak{u}(n)\to U(n)\) surjektiv ist.

Jede Darstellung von \(U(1)\) ist vollständig reduzibel. Die irreduziblen Darstellungen sind eindimensional und äquivalent zu einem \(\rho_j\) für ein \(j \in \Z\), wobei\[\rho_j(z) w = z^jw, \quad z\in G, w \in \C.\]

Darstellungen von Lie-Algebren
Sei \(\g\) eine Lie-Algebra über \(\R\). Eine Darstellung von \(\g\) auf einem \(\R\)-Vektorraum \(V\) ist eine \(\R\)-lineare Abbildung \(\tau: \g \to \mathfrak{gl}(V) := \operatorname{Hom}(V,V)\), die die Lie-Klammer respektiert:\[\underbrace{[\tau(X), \tau(Y)]}_{\mathclap{\text{Lie-Klammer von } \gl(V) } }\qquad = \qquad \tau(\underbrace{[X,Y]}_{\mathclap{\text{Lie-Klammer von } \g} })\]Die selbe Definition gilt für komplexe Lie-Algebren.
\(W \subset V\) ist ein invarianter Unterraum, falls \(\tau(X)w \in W, \ \forall w\in W, X \in \g\).
Die Begriffe Irreduzibilität und vollständige Reduzibilität sind analog wie bisher: Ein Homomorphismus von Lie-Algebren \(\g, \mathfrak h\) ist eine lineare Abbildung \(\phi: \g \to \mathfrak h\), die die Lie-Klammer respektiert:\[[\phi(X), \phi(Y)] = \phi([X,Y]), \qquad \forall X,Y \in \g\]Es ist ein Isomorphismus, falls \(\phi\) ein invertierbarer Homomorphismus ist.

Q: Sei \(\rho:G\to \GL(V)\) eine [...]. Dann bildet \(\rho\) [...] auf [...] ab.
A: Darstellung einer Lie-Gruppe \(G\); Einparametergruppen; Einparametergruppen

Q: Jeder stetige Homomorphismus \(\psi: \R \to G\) ist [...] und somit insbesondere eine [...].
A: stetig differenzierbar; Einparametergruppe

Q: Seien \(G,H\) zwei Matrix-Lie-Gruppen und sei \(f:G\to H\) ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Dann ist \(f\) [...].
A: glatt

Q: Für \(X \in \g\) setzen wir\[\rho_*(X)=[...]=[...]=\operatorname{Hom}(V,V).\]
A: \left.{d\over dt}\right|_{t=0}\rho(\exp tX)\in\Lie(\GL(V)); \gl(V)

Q: Für \(X \in \g\) setzen wir\[\rho_*(X)=\left.{d\over dt}\right|_{t=0}\rho(\exp tX)\in\Lie(\GL(V))=\gl(V)=\operatorname{Hom}(V,V).\]
\(\rho_*\) ist eine Lie-Algebra-Darstellung \(\g\to \gl(V)\) mit
1. \(\rho(\exp tX)=[...]\), \(t\in\R\), \(X\in\g\) (Kommutationsrelation)
2. \(\rho_*(\lambda X+\mu Y)=[...]\), \(\lambda,\mu\in\R\), \(X,Y\in\g\) (Linearität)
3. \(\rho_*([X,Y])=[...]\), \(X,Y\in\g\) (Erhaltung der Lie-Klammer)
A: \exp(t\rho_*(X)); \lambda\rho_*(X)+\mu\rho_*(Y); [\rho_*(X),\rho_*(Y)]

Q: Sei \(G\) zusammenhängend. Dann ist \(\rho: G \to \GL(V)\) [...] durch \([...]\).
A: eindeutig bestimmt; \rho_*: \g \to \gl(V)