Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche01

Eine Gruppe \(G\) ist eine Menge mit einem Produkt \(G \times G \rightarrow G, (g, h) \mapsto gh\), so dass:
- \(\exists 1\in G \forall g \in G: g1=1g=g\) (Einselement)
- \(\forall g \in G \exists g^{-1} \in G: gg^{-1} =g^{-1}g =1\) (Inverses Element)
- \(\forall g,h,k \in G: g(hk) = (gh)k\) (Assiziativität)

Q: Die [...] einer Gruppe \(G\), geschrieben \(|G|\), bezeichnet [...]
A: Ordnung; die Anzahl der Elemente in \(G\).

Q: Das [...] sind eindeutig. Das Inverse von 1 ist 1.
A: neutrale Element und das Inverse eines Elements

Eine Untergruppe \(H \subset G\) ist eine nichtleere Teilmenge von \(G\) mit folgenden Eigenschaften:
1. \(h_1, h_2 \in H: h_1 h_2 \in H\)
2. \(h \in H: h^{-1} \in H\)
Eine Untergruppe einer Gruppe ist selbst eine Gruppe.

Q: Das direkte Produkt \(G_1 \times G_2\) zweier Gruppen ist das [...] mit Einselement \([...]\) und Inversem \([...]\).
A: kartesische Produkt mit Multiplikation \((g_1, g_2)(h_1, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)\); (1,1); (g_1, g_2)^{-1} = (g_1^{-1}, g_2^{-1})

Beispiel symmetrische Gruppe:
Eine Permutation von \(n\) Elementen ist eine bijektive Abbildung \(\pi:\{1, \ldots, n\} \to\{1, \ldots, n\}\). Die übliche Schreibweise dieser Abbildung ist:\[\pi = \mat{1 & 2 & \ldots & n \\ \pi(1) & \pi(2) & \ldots & \pi(n)}\]d.h. dass \(\pi\) das Einselement auf \(\pi(1)\) abbildet, 2 auf \(\pi(2)\), etc. Die Menge aller Permutationen von \(n\) Elementen bildet eine Gruppe mit der Verknüpfung der Abbildungen als Gruppenoperation:
1. Produkt:  Verknüpfung von Abbildungen: \[(\pi_1 \circ \pi_2)(i) = \pi_1(\pi_2(i))\]
2. Einselement: Identitätsabbildung Id: \[\text{Id}(i) = i, \ \forall i \ \text{Id} =  \mat{1 & 2 & \ldots & n \\ 1 & 2 & \ldots & n } \]
3. Inverses von \(\pi\): \(\pi^{-1}\) mit \(\pi^{-1}(\pi(i)) = i,\ \forall i\). Dies existiert \(\forall \pi \in S_n\), da Permutationen bijektiv sind.
Diese Gruppe heisst symmetrische Gruppe \(S_n\). Sie hat Ordnung \(|{S}_n| = n!\).

Beispiel Zyklische Gruppe der Ordnung \(n\):
\(\Z_{n}=\Z / n \Z\) (mit der Addition modulo \(n\) als Verknüpfung) ist eine abelsche Gruppe mit Ordnung \(n\).

Beispiel Diedergruppe \(D_n\):
Die Diedergruppe \({D}_n\) mit \(n \geq 3\) besteht aus den orthogonalen Transformationen der Ebene, die ein reguläres, im Ursprung zentriertes \(n\)-Eck auf sich selbst abbilden. Sind die Ecken \(v_{0}, \ldots v_{n-1} \in \R^2\), im Gegenuhrzeigersinn nummeriert, so ist die Drehung \(R\) mit Winkel \(2 \pi / n\) in \(D_{n}\) durch \(R v_i=v_{i+1}\left(v_{n} \equiv v_{0}\right)\) gegeben. Die Spiegelung \(S\) um die durch \(v_{0}\) und 0 gehende Achse ist auch in \(D_{n}\) und erfüllt \(S v_i=v_{n-i}\).

Q: Sei \(R \in O(2)\) die Drehung um \(\frac{2\pi}{n}\) und sei \(S\) die Spiegelung an der Geraden durch \(v_0\). Dann gilt:\[D_n =[...]\]Insb. \(|D_n| = [...]\),
A: \{1, R^1, \dots, R^{n-1}, S, RS, \dots, R^{n-1}S \}; 2n

Beispiel allgemeine lineare Gruppe: \(G L(n, \R), G L(n, \C)\) (engl. general linear group):
\[G L(n, \R) =\{\text { invertierbare reelle } n \times n \text { Matrizen }\} \]\[G L(n, \C) =\{\text { invertierbare komplexe } n \times n \text { Matrizen }\} \]
Das Produkt ist die Matrizenmultiplikation, und das neutrale Element ist die Einheitsmatrix. Abstrakter, für jeden Vektorraum \(V\) (über \(\R\) oder \(\C\) ) definiert man die Gruppe \[G L(V) =\{\text { invertierbare lineare Abbildungen } V \to V\} \]wobei das Produkt die Zusammensetzung von Abbildungen ist. Falls \(\dim V<\infty\), wird \(V\) durch Wahl einer Basis mit \(\R^n\) oder \(\C^n\) identifiziert und \(G L(V)\) ist dann \(G L(n, \R)\) bzw. \(G L(n, \C)\).

Orthogonale Gruppe \(O(n)\):
\[O(n) = \{A \in Mat_{n \times n}(\R) | A^TA = I \} \subset GL(n,\R)\]Es gilt \(O(n) \subset GL(n,\R)\), da \(\det(A^TA) = \det(A)^2 = 1\),
Ausserdem \(A^{-1} = A^T\) und für \(A,B\in O(n) \implies AB \in O(n)\).

Allgemeiner betrachten wir die symmetrische Bilinearform auf \(\R^{p+q}\)\[\abk{x,y}_{p,q} = \sum_{i=1}^p x_iy_i - \sum_{i=p+1}^{p+q} x_iy_i\]und definieren\[O(p,q)= \setr{A \in GL(p+q,\R)}{\ \forall x,y \in \R^{p+q}: \ \abk{Ax,Ay}_{p,q} \ = \abk{x,y}_{p,q} } .\]Insbesondere gilt \(O(n,0) = O(n) = O(0,n)\).
Back Extra: Für den Fall \(p = 1, q = 3\) erhalten wir die Minkowski-Metrik \(\abk{x,y}_{1,3}\) bzw. die Lorentz-Gruppe \(O(1,3)\). Diese Gruppe beschreibt Symmetrien der Raumzeit im Elektromagnetismus und in der speziellen Relativitätstheorie.

Q: Betrachte die antisymmetrische Bilinearform auf \(\R^{2 n}\)\[\abk{X,Y}_\omega=[...]\]wobei \(X_i\) die \(i\)-te Komponente von \(X \in \R^{2 n}\) bezeichnet. Die [...] ist dann\[S p(2 n)=[...]\]
A: \sum_{i=1}^n\left(X_{2 i-1} Y_{2 i}-X_{2 i} Y_{2 i-1}\right); symplektische Gruppe; \left\{A \in G L(2n, \R) \mid \abk{A x, A x'}_\omega=\abk{x, x'}_\omega\right\}

Definition Gruppenwirkung:
Eine Gruppe \(G\) wirkt/operiert auf einer Menge \(X\), wenn eine Abbildung \[G \times X \to X, \quad (g,x) \mapsto g \cdot x\]gegeben ist, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
1. \(\forall x \in X: \)\(1 \cdot x=x\)
2. \(\forall g,g' \in G, x\in X: \)\(g \cdot (g' \cdot x)=(gg') \cdot x\)
Die Abbildung \((g, x) \mapsto g \cdot x\) heisst auch Linkswirkung.

Q: Ein (Gruppen-)Homomorphismus \(\varphi: G \to H\) von einer Gruppe \(G\) auf eine Gruppe \(H\) ist eine Abbildung, die Homomorphismuseigenschaft erfüllt:\[[...].\]\(\operatorname{Hom}(G,H)\) ist die Menge aller Homomorphismen von \(G\) nach \(H\).
Ist zusätzlich [...], so ist [...]. Existiert ein solcher Isomorphismus zwischen zwei Gruppen \(G\) und \(H\), so sind \(G\) und \(H\) zueinander isomorph und wir schreiben \(G \cong H\).
A: \varphi(g g')=\varphi(g) \varphi(g'); \(\varphi\) bijektiv; \(\varphi\) ein Isomorphismus

Q: Sei \(\varphi: G \to H\) ein Homomorphismus. Der Kern von \(\varphi\) ist die Menge\[\operatorname{Ker} \varphi=[...].\]Das Bild von \(\varphi\) ist die Menge\[\operatorname{Im} [...].\]
A: \{g \in G \mid \varphi(g)=1 \in H\} \subset G; \varphi=\{\varphi(g) \mid g \in G\} \subset H

Sei \(\varphi: G \to H\) ein Homomorphismus. Sei \(\psi: H \to K\) ein weiterer Homomorphismus, so ist \(\psi \circ \varphi: G \to K\) ein Homomorphismus.
1. \(\varphi(1)=1\) und \(\varphi(g)^{-1} =\varphi\left(g^{-1}\right)\),
2. Ker \(\varphi\) ist eine Untergruppe von \(G, \operatorname{Im} \varphi\) ist eine Untergruppe von \(H\),
3. \(\varphi\) ist genau dann injektiv, wenn \(\operatorname{Ker} \varphi=\{1\} \).
4. Ist \(\varphi\) ein Isomorphismus, so ist \(\varphi^{-1}\) ebenfalls ein Isomorphismus. Die Isomorphismen \(G \to G\) bilden die Gruppe der Automorphismen von \(G\): \(\operatorname{Aut}(G)\).

Sei \(H\) eine Untergruppe einer Gruppe \(G\). Für ein \(g\in G\) ist die (Links-) Nebenklasse:\[gH := \set{gh}{h\in H} \]Die Menge der Nebenklassen von \(H\) in \(G\) \[G / H = \set{gH}{g\in G} \]ist somit die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation\[g_1 \sim g_2 \iff g_2 \in g_1H \iff \exists h \in H \text { mit } g_2=g_1 h .\]

Q: Ein Normalteiler von \(G\) ist eine Untergruppe \(H\) mit der Eigenschaft\[[...], \qquad \forall g \in G, h \in H. \]
A: g h g^{-1} \in H

Sei \(H\) ein Normalteiler von \(G\) und es bezeichne \([g] = gH\) die Nebenklassse  von \(g\) in \(G / H .\) Dann ist für alle \(g_1, g_2\) das Produkt\[\left[g_1\right]\left[g_2\right]=\left[g_1 g_2\right]\]wohldefiniert, und \(G / H\) ist mit diesem Produkt eine Gruppe, welche Faktor- oder Koeffizientengruppe von \(G \bmod H\) heisst.