Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche06

Lemma:
1. Sei \(A\) eine komplexe \(n \times n\)-Matrix so dass für alle \(n \times n\)-Matrizen \(X\) gilt, dass \(A X A\) ein Vielfaches von \(A\) ist. Dann gibt es Vektoren \(u, v \in \mathbb{C}^{n}\), so dass \(A=u v^{\dagger} .\)
3. Sei \(A=\left(\begin{array}{ccc}A_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & A_{k}\end{array}\right)\) eine Blockdiagonalmatrix mit Diagonalblöcken der Grösse \(d_{j} \times d_{j}(\) mit \(j=1, \ldots, k)\). Es gelte für jede Blockdiagonalmatrix \(X=\left(\begin{array}{ccc}X_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & X_{k}\end{array}\right)\) gleicher Form, dass \(A X A\) ein Vielfaches von \(A\) ist. Dann existiert ein \(j \in\{1, \ldots, k\} \) und \(u, v \in \mathbb{C}^{d_{j} } \), so dass \(A_{i}=0\) für \(i \neq j\) und \(A_{j}=u v^{\dagger} \).

Beispiel: Wir betrachten die Darstellung \(\rho_{\lambda}\) von \(S_{n}\) zu\[\lambda=\square \quad \square \cdots \square\]In diesem Fall ist \(G_{\lambda}=S_{n} \) und \(G_{\lambda^{T}}=\{1\} \). Es ist also \(a_{\lambda}=1\), und für jedes \(\sigma \in S_{n}\) gilt \(\sigma s_{\lambda}=s_{\lambda}\). Also ist \(V_{\lambda}=\mathbb{C}\left[S_{n}\right] c_{\lambda} \cong \mathbb{C}\) eindimensional, und jedes Element \(\sigma \in S_{n}\) wirkt trivial, wir haben also die triviale Darstellung konstruiert.
Ebenso betrachte

Dann ist \(G_{\mu^{T}}=S_{n} \) und \(G_{\mu}=\{1\} , s_{\mu}=1\) und für jedes \(\sigma \in S_{n}\) gilt \(\sigma a_{\mu}=\operatorname{sgn}(\sigma) a_{\mu}\). Also ist \(V_{\mu}=\mathbb{C}\left[S_{n}\right] c_{\mu} \cong \mathbb{C}\) wieder eindimensional, aber die Darstellung ist jetzt die Vorzeichendarstellung von \(S_{n}\).

Frobeniusformel
Sei \(\lambda\) ein Young-Diagram mit \(n\) Kästli. Sei \(\underline{i}=\left(i_{1}, i_{2}, \ldots\right)\) eine Partition von \(n\), und \(C_{\underline{i}}\) die zugehörige Konjugationsklasse von \(S_{n}\). Dann gilt\[\chi_{\rho_{\lambda}}\left(C_{\underline{i} }\right)=\left(\Delta(x) \prod_{k} P_{k}^{i_{k} }(x)\right)_{x^{\lambda+\rho} } \]mit der folgenden Notation:
- \(x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\), und für einen Multiindex \(\lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)\),\[x^{\lambda}=x_{1}^{\lambda_{1} } \cdots x_{n}^{\lambda_{n} }  .\]
- \(\Delta(x)=\prod_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)\) ist die Vandermonde-Determinante.
- \(P_{k}(x)=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{n}^{k} \).
- Die Notation \((Q)_{x^{a}}\) bezeichne den Koeffizienten von \(x^{a}\) im Polynom \(Q(x)\).
- \(\rho=(n-1, n-2, \ldots, 1,0)\).

Q: Hakenlängenformel
Die Dimension der irreduziblen Darstellung \(\rho_{\lambda}\) von \(S_{n}\) ist\[\operatorname{dim} \rho_{\lambda}=[...]\]wobei \(h(i, j)\) die Länge des \(i, j\)-Hakens im Young-Diagramm \(\lambda\) ist. Das Produkt läuft dabei über die Koordinaten \(i, j\) von allen Kästli in \(\lambda\).
A: \frac{n !}{\prod_{i, j} h(i, j)}

Sei \(\rho:G\to GL(V)\) eine endlichdimensionale komplexe Darstellung einer kompakten Gruppe \(G\), und \(A:V\to V\) eine diagonalisierbare lineare Selbstabbildung, so dass \(\rho(g)A=A\rho(g),\forall g\in G\). Sei \(V=V_1\oplus\cdots\oplus V_n\) eine Zerlegung von \(V\) in irreduzible Darstellungen. Dann hat \(A\) höchstens \(n\) verschiedene Eigenwerte. Bezeichnet \(d_i\) die Dimension von \(V_i\), so hat \(A\) bezüglich einer passenden Basis die Diagonalform\[\mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_1,\dots,\lambda_1}_{d_1\; \mathrm{mal} },\dots,{\underbrace{\lambda_n,\dots,\lambda_n}_{d_n\; \mathrm{mal} } }),\]für gewisse (nicht notwendigerweise verschiedene) komplexe Zahlen \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\).

Q: Sei \(\rho:G\to GL(V)\) eine endlichdimensionale komplexe Darstellung einer kompakten Gruppe \(G\), und \(A:V\to V\) eine diagonalisierbare lineare Selbstabbildung, so dass \(\rho(g)A=A\rho(g),\forall g\in G\). Sei \(V=V_1\oplus\cdots\oplus V_n\) eine Zerlegung von \(V\) in irreduzible Darstellungen. Seien für alle \(i\neq j\) die Darstellungen \(V_i\), \(V_j\) nicht äquivalent. Dann ist, für alle \(i\), \([...]\) und die Einschränkung von \(A\) auf \(V_i\) ist \(A|_{V_i}=[...]\) für ein \([...]\)
A: AV_i\subset V_i; \lambda_i1_{V_i}; \lambda_i\in\C