Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche03

Q: Sei \(\rho: G \to G L(V)\) eine Darstellung. Dann gelten
- [...]
- [...]
A: \(\rho(1)=1_{V}\)Identitätsabbildung \(V \to V\); \(\rho(g)^{-1}=\rho\left(g^{-1}\right)\)

Die reguläre Darstellung einer endlichen Gruppe \(G\) ist die Darstellung auf dem Raum \(V = \C[G]\) aller Funktionen von \(G\) nach \(\C\),\[\left(\rho_{\text{reg} }(g) f\right)(h)=f\left(g^{-1} h\right), \quad f \in \C[G], g, h \in G\]

\((\rho, V)\) heisst vollständig reduzibel, falls invariante Unerräume \(V_1, ..., V_n\) existieren, sodass \((\rho\vert_{V_i}, V_i)\) irreduzibel ist für \(i=1,...,n\) und \(V = V_1 \oplus ... \oplus V_n\) gilt.
\((\rho, V)\) heisst irreduzibel, falls sie keine invarianten Unterräume ausser \(V\) und \(\{0\}\) besitzt, sonst reduzibel.
\((\rho, V)\) heisst vollständig reduzibel, falls invariante Unerräume \(V_1, ..., V_n\) existieren, sodass \((\rho\vert_{V_i}, V_i)\) irreduzibel ist für \(i=1,...,n\) und \(V = V_1 \oplus ... \oplus V_n\) gilt.

Q: Beispiel: Die Darstellung
\[\rho\bk{\smat{\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta}} = \smat{\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1}\]
von \(SO(2)\) auf \(\R^3\) aus ist [...] mit [...] und [...].
A: vollständig reduzibel; \(V_1 = xy\)-Ebene; \(V_2 = z\)-Achse

Nicht jede reduzible Darstellung ist vollständig reduzibel. Zum Beispiel ist die Darstellung von \((\R, +)\) auf \(\R^2\) mit \(x \mapsto \smat{1 & x \\ 0 & 1} \) reduzibel (mit invariantem Unterraum \(\R \smat{1\\0} \)) nicht aber vollständig reduzibel, denn \( \smat{1 & x \\ 0 & 1} \) ist für \(x \neq 0\) nicht diagonalisierbar.

Q: Sei \((\rho, V)\) eine endlichdimensionale Darstellung, so dass zu [...] ein [...]. Dann ist [...].
A: jedem invarianten Unterraum \(W \subset V\); invarianter Unterraum \(W'\) existiert mit \(V= W \oplus W'\); \((\rho, V)\) vollständig reduzibel

Q: Eine endlichdimensionale, komplexe Darstellung \(\rho\) auf einem Vektorraum \(V\) mit Skalarprodukt \(\abk{\:\cdot\:,\: \cdot\:}\) heisst [...], falls \(\rho(g)\) für alle \(g \in G\) [...] ist, es gilt also\[\rho(g)^{-1} = \rho(g)^* \iff [...] \forall g \in G, v,w \in V.\]
A: unitär; unitär; \abk{\rho(g)v, \rho(g)w} = \abk{v,w} \qquad

Q: [...] Darstellungen \((\rho, V)\) sind [...].
A: Unitäre; vollständig reduzibel

Q: Sei \((\rho, V)\) eine Darstellung einer [...] \(G\). Dann existiert ein [...] so dass [...].
A: endlichen Gruppe; Skalarprodukt \(\abk{\:\cdot\:,\: \cdot\:}\), auf \(V\),; \((\rho, V)\) unitär ist

Q: Trick der Mittelung: Sei \(\abk{\:\cdot\:,\: \cdot\:}_{0}\) irgendein Skalarprodukt auf \(V\). Wir ''mitteln'' über alle Gruppenelemente wie folgt:\[\abk{v, w}=[...]\]
A: \sum_{g \in G}\abk{\rho(g) v, \rho(g) w}_{0}

Q: Darstellungen von [...] sind [...].
A: endlichen Gruppen; vollständig reduzibel

Ein Darstellungshomomorphismus \((\rho_1, V_1) \to(\rho_2, V_2)\) ist eine lineare Abbildung \(\varphi: V_1 \to V_2\) so, dass \[\varphi\circ \rho_1(g)=\rho_2(g)\circ\varphi\] gilt für alle \(g \in G\).
Zwei Darstellungen \((\rho_1, V_1),(\rho_2, V_2)\) sind äquivalent (oder isomorph) zueinander, falls ein bijektiver Darstellungshomomorphismus \(\varphi: V_1 \to V_2\) existiert. Wir schreiben .% oder falls nur \(\rho_1 \cong \rho_2\), \((\rho_1, V_1) \cong (\rho_2, V_2)\), falls \(V_1 = V_2\).
Der Vektorraum aller Homomorphismen \((\rho_1, V_1) \to(\rho_2, V_2)\) ist der Raum der äquivarianten linearen Abbildungen und wird mit \(\Hom_{G}(V_1, V_2)\) oder \(\Hom_{G}\left((\rho_1, V_1),(\rho_2, V_2)\right)\) geschrieben.

Seien \((\rho_1, V_1),(\rho_2, V_2)\) irreduzible komplexe endlichdimensionale Darstellungen von \(G\). Dann gilt
1. \(\varphi \in \Hom_{G}(V_1, V_2) \implies \varphi \equiv 0\) oder \(\varphi\) ist ein Isomorphismus.
2. \(\varphi \in \Hom_{G}\left(V_1, V_1\right) \implies \varphi=\lambda \Id, \lambda \in \C\).

Q: Jede [...] einer [...] ist [...].
A: irreduzible endlichdimensionale komplexe Darstellung; abelschen Gruppe; eindimensional

Grosser Orthogonalitätssatz:
Seien \(\rho: G \to G L(V), \rho': G \to G L\left(V'\right)\) irreduzible unitäre Darstellungen einer endlichen Gruppe \(G\). Es bezeichnen \(\left(\rho_{i j}(g)\right),\left(\rho_{k l}'(g)\right)\) die Matrizen von \(\rho(g), \rho'(g)\) bezüglich orthomormierten Basen von \(V\) bzw. \(V'\).
1. Sind \(\rho, \rho'\) inäquivalent, so gilt für alle \(i, j, k, l\),    \[ \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\rho_{i j}(g)} \rho_{k l}'(g)=0 \]
2. Für alle \(i, j, k, l\) gilt    \[\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\rho_{i j}(g)} \rho_{k l}(g)=\frac{1}{\dim V} \delta_{i k} \delta_{j l} \]