Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche02

Es ist auch interessant zu betrachten, warum Nebenklassen \(G / H\) bezüglich Untergruppen \(H\), die keine Normalteiler sind, die Gruppenrelation \([g][h] = [gh]\) nicht erfüllen können, denn dann müsste für ein \(h \in H\) gelten:\[\left[g\right]\left[h\right]\left[g^{-1}\right]=\left[g h g^{-1}\right] = \left[g\right]\left[1\right]\left[g^{-1}\right] = \left[1\right]\] was aber per Annahme nicht sein kann, ein Widerspruch.

Q: Für [...] ist die Äquivalenzklasse von \(g\in G\) in \(G/H\): \(\Z_{n}=[...] = [...]\) wobei \([i] = \cbk{i, i \pm n, i \pm 2n,...}\). Wir können uns davon überzeugen, dass \(n\Z\) für beliebige \(n \in \N\) einen Normalteiler von \(\Z\) bildet.
A: abelsche Gruppen; \Z / n \Z; \cbk{[0], [1],...,[n-1]}

Sei \(\varphi: G \to H\) ein Homomorphismus von Gruppen. Dann gilt\[G / \operatorname{Ker} \varphi \cong \operatorname{Im} \varphi\]Der Isomorphismus ist \([g] \mapsto \varphi(g)\) für beliebige Wahl der Repräsentanten \(g\).

Q: Semidirektes Produkt:
A: \(G \ltimes_\rho H\) mit \((g,h)(g',h') = (gg', h \rho_{g}(h')),\ \rho: G \to \operatorname{Aut}(H)\)

Q: Definition Gruppe \((G,\circ):\)
A: \(\exists! \, 1: g\circ 1 = g, \exists! g^{-1}: g\circ g^{-1} = 1, g \circ (h \circ k) = (g \circ h) \circ k, \forall g,h,k \in G\)

Q: Untergruppe \(H \subset G\)
A: \(\forall h, h' \in H: hh' \in H\) und \(h^{-1} \in H\)

Q: Bild Im(\(\varphi\))
A: \(\varphi:=\{\varphi(g) \mid g \in G\} \subset H\)

Q: Seien \(G,H\) Gruppen und \(\rho: G \to Aut(H), g \mapsto \rho_g\) ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist \(G \times _{\rho} H \) mit Mult. \((g_1, h_1) (g_2,h_2) = [...]\) eine Gruppe, genannt das [...].
A: (g_1 g_2, h_1 \rho_{g_1}(h_2)); Semidirekte Produkt

Q: Lie Gruppen sind [...].
A: kontinuierliche Gruppen mit der Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit

Q: Für ein festes \(x \in X\) definieren wir die [...] unter der Gruppenwirkung von \(G\) als    \[Gx := [...]\]
A: Bahn/Orbit; \set{g x}{g \in G} \subset X

Q: Für ein festes \(x \in X\) definieren wir den [...] von \(x\) unter der Gruppenoperation von \(G\) als die Untergruppe    \[[...] := [...]\]
A: Stabilisator; \operatorname{Stab}_x; \set{g \in G}{ gx = x} \subset G
Back Extra: Der Stabilisator von einem Element \(x \in X\) ist also die Menge aller Elemente von \(G\), deren Wirkung auf \(X\) das Element \(x\) unverändert lassen. Insbesondere ist der Stabilisator eine Untergruppe von \(G\).

Wirkt die Gruppe \(G\) auf der Menge \(X\), dann ist für jedes \(x\in X\) die Abbildung \(G/\operatorname{Stab}_x \to Gx, [g] \mapsto gx\) wohldefiniert und eine Bijektion. Insbesondere gilt für endliche \(G\) die Bahnformel\[|G| = |\operatorname{Stab}_x||Gx|.\]

Beispiel Ordnung der Oktaedergruppe:
Betrachte z.B. einen dreidimensionalen Würfel zentriert im Ursprung. Wir definieren die Oktaedergruppe \(O \subset O(3)\) als die Symmetriegruppe dieses Würfels, bestehend aus allen orthogonalen Abbildungen, die den Würfel auf sich selbst abbilden. Sei \(X = \{v_1, ..., v_8\}\) die Menge der 8 Ecken.
Der Stabilisator \(\operatorname{Stab}_{v_1}\) ist isomorph zur Diedergruppe \(D_3\).
Die Bahn von \(v_1\) ist \(X\), da es zu jedem \(v_j\) ein \(g \in O\) gibt, sodass \(Ov_1 = v_j\). Mit der Bahnenformel folgt also \(|O| = 6 \cdot 8 = 48\).

Eine (reelle bzw. komplexe) Darstellung einer Gruppe \(G\) auf einem \(\R\) oder \(\C\)-Vektorraum \(V \neq 0\) ist ein Homomorphismus \(\rho: G \to GL(V)\).
Der Vektorraum \(V\) heisst dann Darstellungsraum der Darstellung \(\rho\).
Die Dimension einer Darstellung bezeichnet die Dimension des Darstellungraums \(\dim V\).

Q: Bsp. triviale Darstellung [...]
A: \(V=\C, \rho(g)=1\) für alle \(g \in G\)

Beispiel Darstellung der symmetrischen Gruppe \(S_n\):
\(G=S_n, V=\C^{n} \) mit Basis \(e_1, \ldots, e_n\), \(\rho(g) e_{i}=e_{g(i)}, g \in S_n\). Wir betrachten also die Permutationen der Basisvektoren im \(\C^n\).

Beispiel: Darstellung der zyklischen Gruppe:
\(G=\Z_n, V=\C, \rho(m)=e^{\frac{2 \pi i}{n} m} \), wobei \(GL(\C)\) ist mit \(\C^\times := \C\setminus\{0\} \) identifiziert. Wir verwenden also die Einheitswurzeln als Darstellungen der Gruppenelemente.

Beispiel: Darstellung der Diedergruppe \(D_n\):
\(G = D_n, V=\R^2\). Wir wollen die Orthogonalen Transformationen eines \(n\)-Ecks als Dreh- und Spiegelungsmatrizen darstellen. Durch geometrische Überlegungen erkennt man, dass \(S \mapsto \smat{1&0\\0&-1} \) und \(R\mapsto \smat{\cos 2\pi/n& -\sin 2\pi/n \\ \sin 2\pi/n & \cos 2\pi/n} \) eine Darstellung für \(D_n\) ist.

Q: Beispiel: Darstellung der Orthogonalen Gruppe:
\(G=O(3), V=\{\)Funktionen \([...]\), mit der Darstellung \((\rho(A) f)(x):=[...]\).
A: f:\R^3 \to \C\} =: C^{\infty}(\R^3); f(A^{-1} x)