Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche12

Q: Für jedes \(n=0,1,2,\dots\) existiert eine [...] der [...]. Jede irreduzible Darstellung von \(\SU(2)\) ist [...]
A: irreduzible Darstellung \(\rho_n:\SU(2)\to \GL(V_n)\); Dimension \(n+1\); äquivalent zu \(\rho_n\) für geeignetes \(n\).

Komplexifizierung von \(\su(n)\)
1. Jedes \(Z\in \sll(n,\C)=\set{Z\in M_2(\C)}{\tr Z = 0}\) kann eindeutig als \(Z=X+iY\), mit \(X,Y\in \su(n)\), geschrieben werden.
2. Sei \(\tau\): \(\su(n) \Rightarrow \gl(V)\) eine Darstellung von \(\su(n)\) auf einem komplexen Vektorraum \(V\). Dann definiert\[\tau_{\C}(X+iY)=\tau(X)+i\tau(Y)\]eine komplexe (d.h. \(\C\)-lineare) Darstellung der Lie-Algebra \(\sll(n,\C)\), deren Einschränkung auf \(\su(n) \subset \sll(n,\C)\) mit \(\tau\) übereinstimmt.
3. Die Darstellung \(\tau_{\C}\) ist genau dann irreduzibel/vollständig reduzibel wenn \(\tau\) irreduzibel/vollständig reduzibel ist.

Kommutatoreigenschaften der Basis von \(\sll(2, \C)\)
Mit der durch\[ h=\mat{1 & 0\\ 0 & -1} ,\qquad e=\mat{0 & 1\\ 0 & 0} ,\qquad f=\mat{0 & 0\\ 1 & 0} \]gegebenen Basis von \(\sll(2,\C)\) erhalten wir eine Lie-Algebra-Struktur von \(\sll(2,\C)\):    \[[h,e]=2e,\quad [h,f]=-2f,\quad [e,f]=h\]

Korrespondenz zwischen \(\tau_\C\) und \(\gl(V)\)
Seien \[ h=\mat{1 & 0\\ 0 & -1},\qquad e=\mat{0 & 1\\ 0 & 0},\qquad f=\mat{0 & 0\\ 1 & 0}\]
Ist \(\tau\colon \sll(2,\C)\to \gl(V)\) eine \(\C\)-lineare Darstellung, so erfüllen \[H:=\tau(h),\qquad E:=\tau(e),\qquad F:=\tau(f), (\ast\ast)\]die Kommutationrelationen
\[[H, E]=2 E, \qquad [H, F]=-2 F, \qquad [E, F]= H \qquad (\ast)\]Sind umgekehrt \( H, E, F \in \gl(V) = \operatorname{Hom}_\C(V,V)\) Automorphismen von \(V\), die die \(\ast\) Relationen erfüllen, so ist\[\tau_\C(ah+be+cf) := a H+b; E+c; F,\quad a,b,c\in\C\]die eindeutige \(\C\)-lineare Darstellung \(\tau_\C:\sll(2,\C)\to \gl(V)\), so dass  \(\ast\ast\)  gilt.

Eigenschaften der Eigenvektoren von \(H, E, F\)
Ist \(\lambda\in\C\) der Eigenwert von \(H\) mit dem grösstem Realteil und \(v_0\) ein Eigenvektor zu \(\lambda\)\[Hv_0=\lambda v_0,\qquad v_0\neq 0,\]dann gilt:
1. \(E v_0=0\) (\(v_0\) heisst primitiv mit Gewicht \(\lambda\)).
2. Für \(v_k=F^kv_0\), \(k = 1, 2, \dots\) gilt:
\[ H v_k=(\lambda - 2k)v_k\]\[E v_k=k(\lambda - k + 1)v_{k-1} \]

Konstruktion einer irreduziblen Darstellung aus \(E, F\) und \(H\)
1. Sei \(n=\N_0\) und \(v_0,\ldots,v_{n}\) eine beliebige Basis von \(V_n=\C^{n+1}\). Dann definieren die durch  \[Hv_k = (n-2k)v_k\]\[Ev_k = k(n-k+1)v_{k-1} \qquad (\text{für }k=0: \ Ev_0=0)\]\[Fv_k = v_{k+1}  \qquad (\text{für }k=n: \ Fv_n=0)\]gegebenen \(H,E,F \in \gl(\C^{n+1})\) eine irreduzible Darstellung \(\tau_{\C,n}: \sll(2,\C) \to \gl(\C^{n+1})\).
2. Jede komplexe \((n+1)\)-dimensionale irreduzible Darstellung von \(\sll(2,\C)\) ist äquivalent zu \(\tau_{\C,n}\).