Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche08_09

Q: Die Gruppe \(\SO(3)\) besteht aus einer [...].
A: Wegzusammenhangskomponente

Jede Matrix \(A\in \SU(2)\) ist von der Form\[A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{array}\right),\qquad (\alpha,\beta)\in\C^2,\quad |\alpha|^2+|\beta|^2=1.\]

Q: \(\rho: \SU(2) \to \GL(H_0)\), sodass für \(A \in \SU(2)\) ein \(X \in H_0\) abgebildet wird auf\[X \stackrel{\rho(A)}{\longmapsto}\rho(A) X = [...] = [...],\]ist eine reelle Darstellung.
A: AXA^{-1}; AXA^*

Die Pauli-Matrizen sind definiert durch\[\sigma_1=\left(\begin{array}{cc}0 &1 \\ 1 &0 \end{array}\right),\qquad\sigma_2=\left(\begin{array}{cc}0 &-i \\ i &0 \end{array}\right),\qquad\sigma_3=\left(\begin{array}{cc}1 &0 \\0 &-1 \end{array}\right),\]Für \(\vec x = (x_1, x_2, x_3) \in \R^3\) schreiben wir mit \(\vec \sigma = (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)\)\[\hat x = \vec x \cdot \vec \sigma = x_1 \sigma_1 + x_2 \sigma_2 + x_3 \sigma_3 \in H_0\]

Q: Die Pauli-Matrizen bilden eine Orthonormalbasis auf \(H_0\) bezüglich des Skalarproduktes\[\abk{\sigma_i, \sigma_j} = [...]\]
A: \frac12\tr\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}

Der Minkowski-Raum (oder Raumzeit) ist \(\R^4\) versehen mit der symmetrischen Bilinearform (''Minkowskimetrik'')\[\abk{x,y} = \abk{x,y}_{1,3}=x^0y^0-x^1y^1-x^2y^2-x^3y^3,\qquad x,y\in\R^4\]Ein Vektor \(x\in\R^4\) heisst
- zeitartig falls \(\abk{x,x}>0\)
- raumartig  falls \(\abk{x,x}<0\) und
- lichtartig falls \(\abk{x,x}=0\).
Die Menge der lichtartigen Vektoren heisst Lichtkegel \(K\).

Q: Die [...] ist die Gruppe aller linearen Transformationen von \(\R^4\), die die Minkowskimetrik erhalten:\[O(1,3)=\set{A\in \GL(4,\R)} [...],\quad \forall x\in\R^4}.\]In der Matrixnotation lässt sich die Lorentzgruppe mithilfe des metrischen Tensors\[g=[...]\]ausdrücken:\[A \in \O(1,3) \iff Ax \cdot g  Ax = x \cdot g x, \forall x \iff \sum_{kl} A_{ik}g_{kl}A_{jl}=g_{ij}\]wobei \(\cdot\) das Standard-Skalarprodukt bezeichnet.
A: Lorentzgruppe \(O(1,3)\); {\abk{Ax,Ax}_{1,3}=\abk{x,x}_{1,3}; \mat{1 & & & \\ &-1 & & \\ & &-1 & \\ & & &-1}

Q: - Lorentztransformationen bilden zeit- (licht-, raum-)artige Vektoren auf [...] ab.
- \(\det A = [...],\ \forall A \in \O(1,3)\)
A: zeit- (licht-, raum-)artige Vektoren; 1

Q: Sind \((b_i)_{i=0}^3\), \((b'_i)_{i=0}^3\) zwei [...] vom Minkowski-Raum \(\R^4\), so existiert [...], so dass \[b_j'=Ab_j, \ \forall j.\]
A: orthonormierte Basen; genau eine Lorentztransformation \(A\)

Lorentz-Boost
Der Lorentz-Boost in der \(z\)-Richtung mit Rapidität \(\chi = \tanh^{-1}(\frac{v}{c}) \in \R\) ist die Lorentztransformation\[ L(\chi)=\left(\begin{array}{cc@{\qquad} cc}\cosh(\chi)&0&0&\sinh(\chi)\\ 0&1&0 &0 \\ 0&0 &1&0 \\ \sinh(\chi)&0 &0 & \cosh(\chi)\end{array}\right).\]Die Spalten dieser Matrix sind tatsächlich orthonormiert, wie man leicht unter Benutzung der Identität \(\cosh(\chi)^2-\sinh(\chi)^2=1\)nachweist. Es gilt auch \(L(\chi_1)L(\chi_2)=L(\chi_1+\chi_2)\), also bilden diese Matrizen eine zu \(\R\) isomorphe Untergruppe.

Q: Für alle Lorentztransformationen \(A\) gilt:\[A^T=[...]=[...].\]
A: PA^{-1}P; TA^{-1}T

Q: Die Menge aller [...] Lorentztransformationen (also deren [...] ist)\[O_+(1,3)=[...]\]ist die orthochrone Lorentzgruppe.
A: zeitrichtungerhaltenden; erstes Matrixelement positiv; \set{A\in O(1,3)}{A_{00}>0}

Q: Jede orthochrone spezielle Lorentztransformation ist von der Form \([...]\), mit \(\chi\in \R\) und \(R_1,R_2\in \SO(3)\).
A: R_1L(\chi)R_2

Q: Die durch \([...]=\widehat{\varphi'(A)x}\) definierte Abbildung ist eine orthochrone Lorentztransformation.
A: A\hat x A^*

Q: Sei \(\varphi'\) definiert durch
\[A\hat x A^*=\widehat{\varphi'(A)x}.\]Die Abbildung \(\varphi'\) ist ein [...] von \(\SL(2,\C)\) nach \(\SO_+(1,3)\) mit Kern \(\{\pm \Id\}\), also\[\SO_+(1,3) \cong [...]\]Somit induziert \(\varphi'\) einen [...] \(\SL(2,\C)/\{\pm \Id\} \to \SO_+(1,3)\).
A: surjektiver Homomorphismus; \SL(2,\C)/\cbk{\pm \Id}; Isomorphismus

Lie-Gruppen sind kontinuierliche Gruppen \(G\), die die Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit besitzen, sodass Inversion \(G \ni g \mapsto g^{-1} \in G\) und Gruppenmultiplikation \(G \times G \ni (g,h) \mapsto gh \in G\) glatte Abbildungen sind.

Q: Eine Matrix-Lie-Gruppe \(G \subset \GL(n,\K)\) mit \(\K = \R\) oder \(\C\) ist eine [...] Untergruppe bezüglich der Metrik\[d(A,B)^2 = [...] =[...].\]
A: abgeschlossene; \sum_{i,j=1}^{n}\abs{A_{ij}-B_{ij} }^2; \tr\bk{(A-B)^*(A-B)}