Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche05

Sei \(n \geq 1\) eine natürliche Zahl. Dann ist eine Partition von \(n\) (auch Zahlpartition oder Zerlegung genannt) eine Zerlegung von \(n\) in eine Summe positiver ganzer Zahlen,\[n=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{k} \text {. } \]
Back Extra: Die Reihenfolge der Summanden wird dabei nicht beachtet, normalerweise ordnet man sie entweder aufsteigend oder absteigend.

Ein graphischer Weg eine Partition\[n=\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{k},\]darzustellen ist durch ein Young-Diagramm. Man nimmt dazu an, dass die \(\lambda_{j}\) der Grösse nach sortiert sind, \(\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{k}\). Dann ist das zugehörige Young Diagramm eine Anordnung von \(n\) Kästli , mit \(\lambda_{1}\) Kästli in der ersten Zeile, \(\lambda_{2}\) in der zweiten usw. Zum Beispiel repräsentiert das Young-Diagramm

die Partition\[19=5+5+3+3+2+1\]

Seien \(\lambda, \lambda'\) Young-Diagramme mit jeweils \(n\) Kästli, dann sagen wir \(\lambda \geq \lambda'\) genau dann wenn \(\lambda=\lambda'\), oder falls die erste nicht verschwindende Zahl \(\lambda_{i}-\lambda_{i}'(i=1,2, \ldots)\) positiv ist. Entsprechend sagen wir  \(\lambda>\lambda'\), falls \(\lambda \geq \lambda'\) und \(\lambda \neq \lambda'\).
Back Extra: Z.B.

Q: Seien \(k_1,..., k_r \in \cbk{1,...,n}\) \(r\) paarweise verschiedene Zahlen. Dann ist der [...]\[(k_1\ k_2 \ ...\ k_r) \in S_n\] die [...].
A: Zykel; Permutation \(\pi\) mit \(\pi(k_i) = k_{i+1}, \ \pi(k_r) = k_1\) und \(\pi(j) = j\) für \(j \neq k_1,..,k_r\)

Q: Falls [...], so ist die [...]:    \[(k_1\ k_2 \ ...\ k_r)(\ell_1\ \ell_2 \ ...\ \ell_s) = [...]\]
A: \(\cbk{k_1,...,k_r} \cap \cbk{\ell_1, ..., \ell_s} = \emptyset\); Verknüpfung zweier Zykeln kommutativ; (\ell_1\ \ell_2 \ ...\ \ell_s)(k_1\ k_2 \ ...\ k_r)

Bsp. Zyklen: Sei \(n = 6\). Dann bedeutet\[\sigma=(1\ 4\ 2)(3\ 6)\]dass \(\sigma(1)=4, \sigma(4)=2, \sigma(2)=1, \sigma(3)=6, \sigma(6)=3, \sigma(5)=5\). Die Reihenfolge der Zykeln ist unerheblich. Ausserdem ist die Reihenfolge der Zahlen in den Zyklen nur bis auf zyklische Permutationen bestimmt, wir hätten also äquivalent auch schreiben können\[\sigma=(6\ 3)(4\ 2\ 1) .\]

Q: Wir schreiben \(i_{k}(\sigma)\) für die [...] in der Zyklenschreibweise von \(\sigma\). Die Menge aller \(i_{k}(\sigma)\) schreiben wir als Tupel:\[\underline{i}(\sigma)=[...].\]
A: Anzahl der Zyklen der Länge \(k\); \left(i_{1}(\sigma), i_{2}(\sigma), \ldots\right)

Q: Zwei Permutationen \(\pi_1, \pi_2\) sind [...], wenn [...].
A: konjugiert (d.h. \(\exists g \in S_n\), sodass \(\pi_1 = g \pi_2 g^{-1}\)) genau dann; die Mengen der Längen der Zyklen übereinstimmen

Q: Sei \(\tau \in S_{n}\) eine Permutation\[\begin{aligned}&\qquad \tau=(i_{1,1} \cdots i_{1, \lambda_{1}})(i_{2,1} \cdots i_{2, \lambda_{2}}) \cdots(i_{k, 1} \cdots i_{k, \lambda_{k}})\end{aligned}\]in Zyklenschreibweise. Sei \(\sigma \in S_{n}\) beliebig. Dann gilt, in Zyklenschreibweise,\[\sigma \tau \sigma^{-1}=[...] .\]
A: (\sigma(i_{1,1}) \cdots \sigma(i_{1, \lambda_{1} }))(\sigma(i_{2,1}) \cdots \sigma(i_{2, \lambda_{2} })) \cdots(\sigma(i_{k, 1}) \cdots \sigma(i_{1, \lambda_{k} }))=: \tau'

1. Für jedes \(k=1,2, \ldots\) ist die Anzahl \(i_{k}(\tau)\) der Zyklen der Länge \(k\) in der Zyklendarstellung von \(\tau \in S_{n}\) eine Klassenfunktion, d.h., \(i_{k}(\sigma \tau \sigma^{-1})=i_{k}(\tau)\) für alle \(\sigma \in S_{n}\).
2. Zwei Permutationen \(\tau, \tau' \in S_{n}\) sind genau dann in der gleichen Konjugationsklasse (d.h. \(\exists g \in S_n\), sodass \(\tau = g \tau' g^{-1}\)), wenn \(\underline{i}(\tau)=\underline{i}(\tau')\)
3. Die Konjugationsklassen von \(S_{n}\) sind also in 1-1-Korrespondenz zu den Partitionen von \(n\).

Sei \(G\) eine endliche Gruppe. Dann ist die Gruppenalgebra \(\mathbb{C}[G]\) der Vektorraum der formalen Linearkombinationen\[\sum_{g \in G} a_{g} g\]von Elementen in \(G\) mit komplexen Koeffizienten \(a_{g} \in \mathbb{C}\). Insbesondere ist \(G \subset\) \(\mathbb{C}[G]\) eine Basis von \(\mathbb{C}[G]\). Die Gruppenalgebra ist ein Ring mit dem bilinearen, assoziativen Produkt\[\begin{gathered}\mathbb{C}[G] \times \mathbb{C}[G] \rightarrow \mathbb{C}[G] \\\left(\sum_{g \in G} a_{g} g\right)\left(\sum_{g' \in G} a_{g'}' g'\right)=\sum_{g \in G}\left(\sum_{\substack{h, h' \in G \\h h'=g} } a_{h} a_{h'}'\right) g \end{gathered}\]und dem Einselement dem neutralen Element der Gruppe \(1 \in G \subset \mathbb{C}[G]\).

Sei nun \(\rho_{1}, \ldots, \rho_{k}\) eine Liste der inäquivalenten irreduziblen komplexen Darstellungen von \(G\) mit Darstellungsäumen \(V_{1}, \ldots, V_{k}\). Dann ist die direkte Summe\[\bigoplus_{j=1}^{k} \operatorname{End}\left(V_{j}\right)\]wieder ein Ring. Wählen wir jeweils Basen auf den \(V_{j}\), so können wir \(\bigoplus_{j=1}^{k}\) End( \(\left.V_{j}\right)\) identifizieren mit dem Ring der Blockdiagonalmatrizen\[\left(\begin{array}{ccc}A_{1} & & \\& \ddots & \\& & A_{k}\end{array}\right)\]mit Diagonalblöcken \(A_{j}\) der Grösse \(\operatorname{dim} V_{j} \times \operatorname{dim} V_{j}\).

Q: Die Abbildung von Vektorräumen\[\begin{array}{r}\phi: \mathbb{C}[G] \rightarrow [...] \\x \mapsto[...]\end{array} \]ist ein [...].
A: \bigoplus_{j=1}^{k} \operatorname{End}\left(V_{j}\right); \left(\rho_{1}(x), \rho_{2}(x), \ldots, \rho_{k}(x)\right); Isomorphismus von Ringen

Q: Ein Young-Schema ist ein [...].
A: Young-Diagramm, dessen \(n\) Kästli mit den Zahlen \(1, \ldots n\) (auf irgendeine Weise) gefüllt sind, wobei jede Zahl genau einmal vorkommt

Q: Young-Diagramm (bzw. Young-Schema) sei \(\lambda^{T}\) (bzw. \(\hat{\lambda}^{T}\) ) das Young-Diagramm (bzw. Young-Schema), das [...] gewonnen wird.
A: durch Spiegelung von \(\lambda\) (bzw. \(\hat{\lambda})\) an der zweiten Diagonale

Q: Zu jedem Young-Schema \(\hat{\lambda}\) definieren wir nun eine Untergruppe \(G_{\hat{\lambda}} \subset S_{n}\), wobei \(\sigma \in G_{\hat{\lambda}}\) genau dann wenn [...] In anderen Worten, \(\sigma\) [...].
A: für jedes \(j \in\{1, \ldots, n\}\) die Zahl \(\sigma(j)\) in der gleichen Reihe in \(\hat{\lambda}\) steht wie \(j\).; vertauscht die Zahlen in den Reihen, aber darf nicht Zahlen aus verschiedenen Reihen von \(\hat{\lambda}\) vertauschen

Q: Beispiel:
\[\hat{\lambda}=\begin{array}{|l|l} \hline 1 & 2 \\ \hline 3 &\end{array}\]Dann gilt \(G_{\hat{\lambda}}=[...]\).
A: \{i d,(12)(3)\}

Q: Zu einem Young-Diagramm \(\lambda\) mit \(n\) Kästli definieren wir den invarianten Unterraum\[V_{\lambda}=[...]\]Ferner definieren wir die Darstellung \(\rho_{\lambda}\) von \(S_{n}\) auf \(V_{\lambda}\) durch [...].
A: \mathbb{C}\left[S_{n}\right] s_{\lambda} a_{\lambda} \subset \mathbb{C}\left[S_{n}\right]; Einschränkung der Darstellung auf \(\mathbb{C}\left[S_{n}\right]\) durch Linksmultiplikation

Q: Def. die Darstellung \(\rho_{\lambda}\) von \(S_{n}\) auf \(V_{\lambda}\) durch Einschränkung der Darstellung auf \(\mathbb{C}\left[S_{n}\right]\) durch Linksmultiplikation.
Die Darstellungen \(\rho_{\lambda}\) der obigen Definition sind [...], und für [...] sind [...].
A: irreduzibel; \(\lambda \neq \lambda'\); \(\rho_{\lambda}\) und \(\rho_{\lambda'}\) inäquivalent

Setze
\[c_{\hat{\lambda}}=s_{\hat{\lambda}} a_{\hat{\lambda}} \quad c_{\lambda}=s_{\lambda} a_{\lambda} .\]Sei \(\hat{\lambda}\) ein Young-Schema mit n Kästli, mit unterliegendem YoungDiagramm \(\lambda\). Dann gilt:
1. Das neutrale Element von \(S_{n}\) hat Koeffizient 1 in \(c_{\hat{\lambda} }\). Insbesondere gilt \(c_{\hat{\lambda} } \neq 0\).
2. Für alle \(g \in G_{\hat{\lambda}}\) ist \(g s_{\hat{\lambda} }=s_{\hat{\lambda} } g=s_{\hat{\lambda} } \).
3. Für alle \(h \in G_{\hat{\lambda}^{T}}\) ist \(h a_{\hat{\lambda} }=a_{\hat{\lambda} } h=\operatorname{sgn}(h) a_{\hat{\lambda} } \).
4. Für \(\sigma \in S_{n}\) beliebig gilt\[G_{\sigma \hat{\lambda}}=\left\{\sigma g \sigma^{-1} \mid g \in G_{\hat{\lambda} }\right\} \]wobei das Young-Schema \(\sigma \hat{\lambda}\) aus \(\hat{\lambda}\) durch Anwenden von \(\sigma\) auf die Einträge gewonnen ist. Insbesondere gilt damit auch \(\sigma s_{\hat{\lambda} } \sigma^{-1}=s_{\sigma \hat{\lambda} } \) und \(\sigma a_{\hat{\lambda} } \sigma^{-1}=a_{\sigma \hat{\lambda} } \) .

Seien \(\hat{\lambda}, \hat{\mu}\) Young-Schemata mit \(n\) Kästli, mit unterliegenden Young-Diagrammen \(\lambda, \mu\).
1. Sei \(\lambda>\mu\) und \(x \in \mathbb{C}\left[S_{n}\right]\) beliebig. Dann gilt \(s_{\hat{\lambda}} x a_{\hat{\mu}}=0\), und damit insbesondere \(c_{\hat{\lambda} } c_{\hat{\mu} }=0\).
2. Sei \(\lambda=\mu\). Dann gilt genau eine der beiden Aussagen:
(a) Es existieren Zahlen \(i \neq j\), die in \(\hat{\lambda}\) in einer Zeile, und in \(\hat{\mu}\) in einer Spalte vorkommen.
(b) Es existieren \(h_{1} \in G_{\hat{\lambda} }\) und \(h_{2} \in G_{\hat{\mu}^{T} }\), so dass \(h_{1} \hat{\lambda}=h_{2} \hat{\mu} \).
3. Für alle \(x \in \mathbb{C}\left[S_{n}\right]\) ist \(s_{\hat{\lambda}} x a_{\hat{\lambda}}\) ein Vielfaches von \(s_{\hat{\lambda} } a_{\hat{\lambda} }=c_{\hat{\lambda} } \). Insbesondere ist \(c_{\hat{\lambda} } x c_{\hat{\lambda} }\) ein Vielfaches von \(c_{\hat{\lambda} }\).