Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche13

Definition Raum der homogenen Polynome
\[U_n = \set{p(\vec z) = \sum_{j=0}^n a_jz_1^jz_2^{n-j} }{a_0,...,a_n \in \C} \]ist der \(\C\)-Vektorraum aller homogenen Polynome in zwei Variablen \(\vec z = (z_1,z_2)\in\C^2\) vom Grade \(n\).\(U_n\) hat Dimension \(n+1\) mit Basis\[z_1^{n},z_1^{n-1}z_2,\ldots,z_1z_2^{n-1},z_2^{n} .\]

Q: Seien \(A\in \SL(2, \C)\), \(p \in U_n\), \(\vec z \in \C^2\) und \(\rho_n: \SL(2,\C) \to \GL(U_n)\) eine \(n+1\)-dimensionale Darstellung mit \[(\rho_n(A)p)(\vec z) = [...]\]Dann ist \((\rho_n)_* = \tau_n : \sll(2,\C) \to \gl(\C^{n+1})\), wobei wir \(\C^{n+1} \cong U_n\) identifizieren mit\[v_k \mapsto p_k :=[...].\]
A: p(A^{-1}z); \frac{(-1)^k}{(n-k)!}z_1^kz_2^{n-k}

Wir betrachten nun ein Spin-\(\frac 12\)-Teilchen, also eine zweidimensionale Darstellung \(\rho_1: \SU(2) \to \GL(V_1)\) mit dem Darstellungsraum \(V_1 = \C v_0 \oplus \C v_1\). Aus einem Satz erhalten wir\[H = \tau_1(h) = \mat{1&0\\0&-1}, \qquad E = \tau_1(e) = \mat{0&1\\0&0}, \qquad F = \tau_1(f) = \mat{0&0\\1&0}.\]Wir erkennen, dass \(\tau_1(X) = X\) gilt, also Elemente aus \(\su(2)\) identisch auf \(\gl(2)\) abbildet. Wir können zeigen, dass für \(\rho_1: \SU(2) \to \GL(2, \C)\) ebenfalls \(A \mapsto A\) gelten muss. \(\rho_1\) ist die definierende Darstellung.

Q: Sei \(\varphi:G\to H\) ein [...] von [...]. Dann ist \(\varphi_*:\Lie(G) \to \Lie(H)\) ein Lie-Algebren-Homomorphismus, wobei\[\varphi_*(X) = [...] \in \Lie(H), \qquad X \in \Lie(G)\]
A: stetig differenzierbarer Homomorphismus; Matrix-Lie-Gruppen \(G,H\); \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} \varphi(\exp(tX))

Jede irreduzible Darstellung \((\rho, V)\) von \(\SO(3)\) ist äquivalent zu \((\tilde \rho_n, U_n)\) für \(n \in 2 \N_0\), wobei \(\tilde \rho_n: \SO(3) \to \GL(U_n)\) gegeben ist durch \(\tilde \rho_n (R) = \rho_n(A)\) für \(R\in\SO(3)\) und \(A\in \SU(2), \varphi(A)=R\).

Zu jedem \(n=0,1,2,\ldots\) gibt es bis auf Äquivalenz genau eine irreduzible Darstellung \((\rho_n,U_n)\) von \(\SU(2)\) der Dimension \(n+1\).  Dabei ist  \[U_n=\left\{\left.\sum_{m=0}^{n} c_mz_1^mz_2^{n-m}\,\right|\,c_m\in\C\right\}\]  der Raum der homogenen Polynome vom Grade \(n\) in zwei Unbekannten,  und für \(A\in \SU(2)\), \(f\in U_n\)  \[(\rho_n(A)f)(z)=f(A^{-1}z).\]  \(\rho_n\) ist unitär bezüglich des Skalarproduktes in dem die  Basis  \[{z_1^mz_2^{n-m}\over\sqrt{m!(n-m)!} } \]  orthonormiert ist.

Q: Lemma
\[(f,g)=\int_{|x|=1}\overline{f(x)}g(x)d\Omega(x)\]ist ein[...]. Die Darstellung [...].
A: Skalarprodukt auf \(H_l\); \(\rho\) ist unitär bezüglich\((\hphantom{i},\hphantom{i})\)

Q: Es gilt die Zerlegung\[H_l=[...]\]in [...], und \(\dim V_l=2l+1\).
A: \bigoplus_{k=0}^{[l/2]}r^{2k}V_{l-2k}; paarweise orthogonale, invariante Unterräume

Q: Die Funktionen \(Y_{lm}(\vartheta,\varphi)\) sind [...] von \(\Delta_{S^2}\):\[\Delta_{S^2}Y_{lm}=[...].\]
A: Eigenvektoren; -l(l+1)Y_{lm}

Q: Die Funktionen \(Y_{lm}(\vartheta,\varphi)\) bilden für \(l=0,1,2,\ldots\), \(m=-l,-l+1,\ldots,l\), eine [...] von \([...]\).
A: orthonormierte Basis; L^2(S^2,d\Omega)

Das Tensorprodukt von zwei endlichdimensionalen Darstellungen \((\rho,V)\) \((\rho',V')\) einer Gruppe \(G\) ist die Darstellung \(\rho\otimes\rho'\) auf dem Tensorprodukt \(V\otimes V'\), die durch die Formel\[(\rho\otimes\rho')(g)=\rho(g)\otimes\rho'(g)\]gegeben wird. Es folgt aus den Eigenschaften von Tensorprodukten, dass diese Formel eine Darstellung definiert, und dass die Assoziativität \((\rho\otimes\rho')\otimes\rho''=\rho\otimes(\rho'\otimes\rho'')\) gilt, wenn die Darstellungsräume\((V\otimes V')\otimes V''\), \(V\otimes (V'\otimes V'')\) durch \((v\otimes v')\otimes v''=v\otimes(v'\otimes v'')\) identifiziert werden.

Q: Ist \(G\) eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra \(\mathfrak{g}\), so wird die Darstellung\((\rho\otimes\rho')_*\) durch\[(\rho\otimes\rho')_*(X)=[...],\qquad\forall X\in G,\]gegeben. Es ist nämlich nach der Produktregel \[\left.\frac d{dt}\right|_{t=0}\left(\exp(t\rho_*(X))\otimes\exp(t\rho'_*(X))\right)=\]\[[...]\]
Die allgemeine Frage ist nach der Zerlegung von Tensorprodukten irreduzibler Darstellungen in irreduzible Darstellungen.
A: \rho_*(X)\otimes 1_{V'}+1_V\otimes\rho'_*(X); \left.\frac d{dt}\right|_{t=0}\exp(t\rho_*(X))\otimes1_{V'}\\+1_V\otimes\left.\frac d{dt}\right|_{t=0}\exp(t\rho'_*(X)).

Um eine Darstellung \(\rho\) von \(\SU(2)\) zu reduzieren, müssen wir also die (Komplexifizierung der) Lie-Algebra-Darstellung \(\rho_*\)  betrachten und die "primitiven'' Vektoren finden, nämlich die Eigenvektoren von \(H\) die im Kern von \(E\) sind.

Sei \(\rho=\rho_{n'}\otimes\rho_{n''}\). Der Darstellungraum von \(\rho_{n'}\) hat eine Basis \(v'_0,\dots,v'_{n'}\), so dass die entsprechende Darstellung \(\tau_{n'}=\rho_{n'*}\) von \(\sll(2,\C)\) durch \(Ev'_j=j(n'+1-j)v'_{j-1} \), \(Hv'_j=(n'-2j)v'_j \), \(Fv'_j=v'_{j+1} \), gegeben wird, mit der Konvention, dass \(v'_{-1}=v'_{n'+1}=0\). Genauso hat der Darstellungsraum von \(\rho_{n''}\) eine Basis \(v''_0,\dots,v''_{n''}\) mit den entsprechenden Eigenschaften.
Eine Basis des Darstellungsraums von \(\rho\) ist dann \(v'_j\otimes v''_k\),\(j=0,\dots,n'\), \(k=0,\dots,n''\). Diese Basis besteht aus Eigenvektoren von \(H=\rho_{*}(h)\):
Also sind die Eigenwerte von \(H\) auf dem Tensorprodukt von der Form \(n'+n''-2l\) \(l=0,1,2,\dots\) und die Eigenräume werden durch \(v'_j\otimes v''_k\) mit \(j+k=l\) aufgespannt.
In diesen Eigenräumen müssen wir den Kern von \(E\) finden. Also suchen wir Linearkombinationen \[w=\sum_{j=0}^la_jv'_j\otimes v''_{l-j} ,\]so dass \(Ew=0\). Jeder solche nichtverschwindende Vektor \(w\) ist dann primitiv und erzeugt eine irreduzible Unterdarstellung der Dimension \(n'+n''-1-2l\).Eigentlich erstreckt sich die Summe in \(w\) auf einem kleineren Intervall falls \(l\) gross ist. Wir nehmen aber an, dass \(l\leq\mathrm{min}(n',n'')\),so dass alle \(v'_j\), \(v''_{l-j}\) in der Summe wohldefiniert sind. Wir werden dann zeigen, dass alle primitiven Vektoren diese Annahmeerfüllen.
Wir lösen jetzt die Gleichung \(Ew=0\) für die Koeffizienten \(a_j\) bei gegebenem \(l\):
Wir erhalten die Rekursionsformel\[a_{j+1}=-\frac{(l-j)(n''+1-l+j)}{(j+1)(n'-j))}a_j,\qquad j=0,\dots,l-1,\](wir können durch \((j+1)(n'-j)\) dividieren, weil dieser Ausdruck für \(j\) im angegebenen Intervall niemals verschwindet) mit Lösung\[a_j=(-1)^j\frac{(n'-j)!(n''-l+j)!}{j!(l-j)!}.\]Somit haben wir für jedes \(l=0,1,\dots,\mathrm{min}(n',n'')\) einen irreduziblen invarianten Unterraum der Dimension \(n'+n''+1-2l\). Die Summe dieser Dimensionen ist\[\sum_{l=0}^{\mathrm{min}(n',n'')}(n'+n''+1-2l)=(n'+1)(n''+1),\]also gleich der Dimension des Tensorproduktes. Somit haben wir das Tensorprodukt vollständig reduziert. Das Resultat wird in der Clebsch-Gordon Zerlegung formuliert.

Q: (Clebsch--Gordan Zerlegung)
Die Zerlegung eines Tensorproduktes von irreduziblen Darstellungen der Dimensionen \(n'+1\), \(n''+1\) ist:\[\rho_{n'}\otimes\rho_{n''}\cong[...].\]Die irreduzible Unterdarstellung der Dimension \(n'+n''+1-2l\) ist aufgespannt durch \([...]\) wobei, bezüglich der oben definierten Basen,\[w_l=[...].\]
A: \rho_{n'+n''}\oplus\rho_{n'+n''-2}\oplus\cdots\oplus\rho_{|n'-n''|}; w_l,Fw_l,\dots, F^{n'+n''-2l}w_l; \sum_{j=0}^l(-1)^j\frac{(n'-j)!(n''-l+j)!}{j!(l-j)!}v'_j\otimes v''_{l-j}