Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche07

Eine Isometrie ist eine bijektive Abbildung \(f:\R^n\to\R^n\), die Abstände erhält: \(d(f(x),f(y))=d(x,y)\), \(\forall x,y\). Insbesondere sind Isometrien stetige Abbildungen .

Q: Sei \(f: \R^n; \to \R^n\) eine Isometrie, d.h. \(\norm{f(x) - f(y)} = \norm{x-y}\) für alle \(x,y \in \R^n\). Dann gibt es \(v \in \R^n, A\in O(n)\), sodass gilt\[[...]\]Die Menge der Isometrien \(\set{f: \R^n \to \R^n}{f \text{ Isometrie}}\) bildet eine [...] bezüglich [...].
A: f(x) = Ax + b \qquad \forall x \in \R^n; Gruppe; der Zusammensetzung von Abbildungen

Q: Der [...] ist der Vektorraum \(\R^3\) versehen mit dem Skalarprodukt \(x\cdot y=[...]\). Der (Euklidische) Abstand zwischen zwei Punkten \(x\) und \(y\) ist \(d(x,y)=\norm{x-y}\) wobei \(\norm{x}=\sqrt{x\cdot x}\).
A: Euklidische Raum; x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3

Q: Für jede Matrix \( A \in \SO(3)\) gibt es \(\vartheta \in [0, 2\pi)\) und \(\O \in \SO(3)\), sodass\[A = [...],\qquad \text{ wobei } \qquad R_3(\vartheta)=[...]\]
A: OR_3(\vartheta)O^{-1}; \mat{\cos\vartheta & -\sin\vartheta & 0 \\\sin\vartheta & \cos\vartheta & 0 \\0 & 0 & 1}

Q: Sei \(\vec n \in \R^n\) ein Einheitsvektorr und \(O \in \SO{3}\) mit \(O\vec e_3 = \vec n\), dass ist die Drehung um die Achse \(\vec n\) gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel \(\vartheta\) gegeben durch\[R(\vec n, \vartheta) = [...]\]
A: OR_3(\vartheta)O^{-1}

Q: Sei \(O\in \SO(3)\) und \(\vec n=O \vec e_3\). Dann ist \[R(\vec n,\vartheta)=OR_3(\vartheta)O^{-1}=[...]\]
A: \bk{\vec x\cdot \vec n}\vec n+\bk{x-(x\cdot \vec n)\vec n}\cos\vartheta+\bk{\vec n\wedge\vec x} \cdot \sin\vartheta

Q: Rechenregeln für Rotationen
- \(R(n,\vartheta)=[...]=[...]\)
- \(R(n_1,\vartheta_1)R(n_2,\vartheta_2)=R(n_2',\vartheta_2)R(n_1,\vartheta_1)\), wobei \(n_2'=[...]\).
A: R(-n,-\vartheta); R(n,-\vartheta)^{-1}; R(n_1,\vartheta_1)n_2

Jede Rotationsmatrix \(A \in \SO(3)\) kann geschrieben werden als\[A = R_3(\varphi) \cdot R_1(\vartheta) \cdot R_3(\psi)\]wobei\[R_3(\varphi) = \mat{\cos \varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1} , \qquad R_1(\varphi) = \mat{1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \varphi & -\sin\varphi \\ 0 & \sin \varphi & \cos \varphi} \]und \(\varphi \in [0,2\pi), \vartheta\in[0,\pi], \psi\in[0,2\pi)\). Diese Eulerwinkel sind eindeutig, falls \(\vartheta\neq0, \pi\).