Title: ETH_Sem4 / MMPII / Woche04

Q: Der Charakter einer endlichdimensionalen Darstellung \(\rho: G \to G L(V)\) einer Gruppe \(G\) ist die komplexwertige Funktion \(G \to \C\):\[\chi_{\rho}(g)=[...]\]
A: \tr(\rho(g))=\sum_{j=1}^{\dim V} \rho_{j j}(g)

Eigenschaften des Charakters:
1. \(\chi_{\rho}(g)=\chi_{\rho}\left(h g h^{-1}\right)\)
2. \((\rho, V) \cong (\rho', V) \implies \chi_{\rho}=\chi_{\rho'} \)
3. \(\chi_{\rho}(1)=\dim V\)
4. \(\chi_{\rho \oplus \rho'}=\chi_{\rho}+\chi_{\rho'} \)
5. \(\chi_{\rho}\left(g^{-1}\right)=\quer{\chi_{\rho}(g)}, \forall g \in G\).

Eine Konjugationsklasse einer Gruppe \(G\) sind die Äquivalenzklassen von \(G\) bezüglich der Äquivalenzrelation\[g \sim g' \iff \exists h \in G: g' = h g h^{-1} \]Eine Funktion \(f: G \to \C\) heisst Klassenfunktion, falls folgendes gilt:\[f(hgh^{-1})=f(g), \quad \forall g,h \in G\]

Q: Für die reguläre Darstellung \(\rho_\text{reg}: G \to GL(\C[G])\) gilt\[\chi_{\text {reg }}(g) := \chi_{\rho_{\text{reg}}(g)}=[...]\]
A: \switch{|G| & \text { falls } g=1 \\0 & \text { sonst. } }
Back Extra: Hierzu wählen wir die Basis \(\left(\delta_{g}\right)_{g \in G}\) des Raumes \(\C[G]\). Es gilt \(\rho_{\text {reg }}(g) \delta_{h}=\delta_{g h}\). Da \(g h \neq h\) für \(g \neq 1\) hat \(\rho(g)\) in diesem Falle verschwindende diagonalen Matrixelemente, und die Spur ist somit null. Anderseits ist \(\tr(\rho(1))=\dim \C[G]=\) \(|G|\), also folgt die Behauptung.

Seien \(\rho, \rho'\) irreduzible Darstellungen der endlichen Gruppe \(G\), und seien \(\chi_{\rho}, \chi_{\rho'}\) ihre Charakteren. Dann gilt
1. Sind \(\rho, \rho'\) inäquivalent, so gilt \(\abk{\chi_{\rho}, \chi_{\rho'}}=0\).
2. Sind \(\rho, \rho'\) äquivalent, so gilt \(\abk{\chi_{\rho}, \chi_{\rho'}}=1\).

Sei \((\rho, V)\) eine Darstellung und \(\rho=\rho_{1} \oplus \cdots \oplus \rho_{n}\) die Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Ist \((\sigma, W)\) eine irreduzible Darstellung, so ist\[m := \abk{\chi_{\rho}, \chi_{\sigma} }  = \#\cbk{i : \rho_i \cong \sigma} .\]D.h. \(\sigma\) kommt \(m\)-mal in der Darstellung \(\rho\) vor.
Wir nennen \(m\) die Vielfachheit von \(\sigma\). Insbesondere ist \(m\) stets eine nichtnegative ganze Zahl.

Q: Eine Darstellung \(\rho\) mit Charakter \(\chi_{\rho}\) ist [...], wenn \([...]\).
A: genau dann irreduzibel; \abk{\chi_{\rho}, \chi_{\rho} }=1

Q: Betrachten wir die triviale Darstellung \(\rho: D_3 \to GL(2, \R), g \mapsto \Id\), so erkennen wir, dass für alle \(g \in D_3: \chi_\rho(g) = [...]\) gilt und somit [...] ist:\[[...]\]
A: \tr(\Id) = 2; reduzibel; \abk{\chi_\rho, \chi_\rho} = \frac{1}{6}(6\cdot 2^2) = 4

Wir wollen in diesem Beispiel die Symmetriegruppe des Methan-Moleküls \(CH_4\) betrachten, also die Permutation der H-Atome als orthogonale Transformation von \(\R^3\). Dies ist die Tetraedergruppe, welche isomorph ist zu \(S_4\). Wir fassen \(\rho : S_4 \to GL(3,\C)\) als komplexe Darstellung von \(S_4\) auf, welche die Ecke \(i\) auf die Ecke \(\pi(i)\) abbildet und wollen uns fragen, ob \(\rho\) irreduzibel ist.
Um diese Frage zu mittels Charaktertheorie zu beantworten, berechnen wir die Charaktere der Darstellung. Da Charaktere Klassenfunktionen sind, haben wir diese nur für einen Representanten einer Äquivalenzklasse auszurechnen.
Die Zahl vor der Äquivalenzklasse bezeichnet jeweils die Anzahl Elemente der Klasse. Evaluieren wir das Skalarprodukt erhalten wir\[\abk{\chi_\rho, \chi_\rho} = \frac{1}{\abs{S_4} } \sum_{\pi \in S_4} \chi_\rho(\pi)^2 = \frac{1}{\abs{S_4} }(3^2 + 6 \cdot 1^2 + 8 \cdot 0^2 + 3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1)^2) = 1\]
Back Extra: Eine andere Möglichkeit, \(D_3\) und die Tetraedergruppe zu betrachten, ist in  3 resp. 4 Dimensionen, bei der die Enden der  Standartbasisvektoren ein gleichseitiges Dreieck / Tetraeder aufspannen.

Q: Sei \((\sigma, V)\) eine [...] einer endlichen Gruppe. Dann kommt \(\sigma\) in der Zerlegung von der regulären Darstellung \(\rho_\text{reg}\) genau [...]-mal vor.
A: irreduzible Darstellung; \((\dim V)\)

Q: Eine endliche Gruppe \(G\) hat nur [...] bis auf Isomorphsimus. Ist \((\rho_1, V_1), ..., (\rho_k, V_k)\) eine Liste aller irreduziblen Darstellungen (paarweise inäquivalent) und \(d_\alpha = \dim (V_\alpha)\) die Dimensionen der Darstellungen, so gilt:\[\abs{G} = [...]\]
A: endlich viele irreduzible Darstellungen; \sum_{\alpha = 1}^kd^2_\alpha

Q: Für eine [...] Gruppe \(G\) gibt es \(\abs{G}\) verschiedene irreduzible Darstellungen \(\rho_1,...,\rho_{\abs{G}}\).
Die Charaktertafel ist also eine komplexe \(\abs{G} \times \abs{G}\)-Matrix folgender Form:
A: endliche abelsche

Q: Sei \(\rho_{1}, \ldots, \rho_{k}\) eine Liste [...] Darstellungen wie in der Dimensionsformel. Wir benutzen auf jedem \(V_\alpha\) ein Skalarprodukt, sodass \(\rho_\alpha\) unitär ist und schreiben \(\rho_{\alpha, i j}\) mit \(\alpha=1, \ldots, k\), \(1 \leq i, j \leq d_{\alpha}\) für die Matrixelemente von \(\rho_\alpha\) bezüglich einer Orthonormalbasis von \(V_\alpha\).
Die Funktionen\[[...]: G \to \C\]bilden dann eine Orthonormalbasis von \(\C[G]\).
A: irreduzibler inäquivalenter unitärer; \sqrt{\dim V_\alpha}\ \rho_{\alpha, i j}

Q: Eine Funktion \(f: G \to \C\) heisst [...] falls\[[...]=f(h)\]für alle \(g, h \in G\).
A: Klassenfunktion; f\left(g h g^{-1}\right)

Q: Sei \(\rho_1,...,\rho_k\) eine Liste [...]. Die [...] der irreduziblen Darstellungen von \(G\) bilden eine [...] des Raums\[\cbk{f : G \to \C, f \text{ Klassenfunktion}} \subset \C[G]\]der Klassenfunktionen.
A: irreduzibler inäquivalenter unitärer Darstellungen wie in der Dimensionsformel; Charakteren \(\chi_{1}, \ldots, \chi_{k}\); orthonormierte Basis

Q: Die Anzahl der irreduziblen komplexen endlichdimensionalen Darstellungen einer endlichen Gruppe ist gleich der [...]
A: Anzahl der Konjugationsklassen von \(G\).

Q: Die Charaktertafel von \(G\) ist die quadratische Matrix gegeben durch\[[...]\]
A: \bk{\chi_\alpha(C_j)}_{\alpha, j = 1,...,k}

Q: Die Matrix zur Charaktertafel\[[...]\]ist unitär.
A: \bk{\sqrt{\frac{\abs{C_j} }{\abs{G} } }\chi_\alpha(C_j)}_{\alpha, j = 1,...,k}

Q: Die Spalten der Charaktertafel sind [...].
A: orthonormal

Für \(G = S_3 (\cong D_3)\) kennen wir die Konjugationsklassen\[[id] \quad [(1 \ 2)] \quad [(1 \ 2 \ 3)],\]also wissen wir, dass es drei irreduzible Darstellungen gibt. Aus der Dimensionsformel folgt mit \(\abs G = 3! = 6 = 1^2 + 1^2 + 2^2\), dass die Dimensionen dieser Darstellungen \(1, 1\) und \(2\) sein müssen
1. Wir haben immer die triviale Darstellung \(\rho_1\) mit Charakter \(\chi_1(\pi) = 1\).
2. Vorzeichendarstellung \(\rho_2\) mit \(\rho_2(id) = \rho_2((1 \ 2 \ 3)) = 1, \rho((1 \ 2)) = -1\).
Nun haben wir bereits zwei der drei Zeilen der Charaktertafel. Die letzte Zeile können wir explizit finden (gegeben durch die Permutation der Koordinaten auf \(V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \C^{3} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}\right\}\)) oder auch unter der Verwendung der Unitarität und wir erhalten:

Seien die \(\{U_\alpha, U_\beta, ...\}\) alle irreduziblen Unterräume einer Darstellung \((\rho, V)\), die äquivalent zueinander sind (d.h. \(\rho\vert_{U_i} \cong \rho\vert_{U_j},\ \forall i,j\)). Dann nennen wir die direkte Summe dieser Unterräume\[W = \bigoplus_{\ell = \alpha, \beta,...} U_\ell\]eine isotypische Komponente der Abbildung \(\rho\).
Die Zerlegung von \(V\) in isotypische Komponenten wie ist die kanonische Zerlegung der Abbildung \(\rho\).%\(\rho\vert_{U_i}\)

Q: 1. Die kanonische Zerlegung ist [...].
2. Die Projektion \(p_i: V \to W_i, w_{1} \oplus \cdots \oplus w_{k} \mapsto w_i\) ist explizit gegeben durch
\[p_i(v)=[...]\]
A: unabhängig von der Wahl der Zerlegung von \(V\) in irreduzible Darstellungen; \frac{\dim V_i}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\chi_i(g)} \rho(g) v.

Q: 1. Eine Darstellung \(\rho: D_n \to GL(V)\) ist durch [...] eindeutig bestimmt.
2. Ist \(V\) ein Vektorraum mit \(\bar{R}:=\rho(R), \bar{S}:=\rho(S) \in GL(V)\) mit   \[ \bar{R}^n = \Id, \quad \bar{S}^2 = \Id, \quad \bar S \bar R = \bar R ^{-1} \bar S,\]   so ist \(\rho : D_n \to GL(V), [...]\) eine Darstellung.
A: \(\rho(R), \rho(S)\); \rho(R^iS^j) = \quer R^i\quer S ^j