Title: ETH_Sem4 / ED / Woche_02

Bemerkung: Die Feldenergie einer Punktladung divergiert, deshalb muss bei singulären Ladungsverteilungen die Selbstenergie subtrahiert werden.
\(\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \int d^3 x E_i^2\)

Q: Definition [...]:
[...]
[...]
A: Greensche Funktion; \(G: \bar D \times D \to \mathbb{R}\)
\(\Delta_xG(x,y) = -\delta(x-y)\) für \(x,y \in D\)
\(G(x,y) = 0\) für \(x\in \partial D\cup \{\infty\}, y \in D\); Hier bildet \(x\) die "Leseposition" und \(y\) die "Wirkungsposition"

Q: Für Greensche Funktionen gilt:
[...]
A: Reziprozität

Q: [...]:
[...]
A: Lösung Elektrostatisches RWP mithilfe von Green; \(\varphi(x) = \int_D \rho(y) G(y,x) d^3x - \int_{\partial D} \psi(y) \cdot \vec \nabla_y G(y,x) do\)

Q: [...]
[...]
[...]
A: Spiegelladung Rechter Halbraum:; \( G= \frac{1}{4\pi|x-y|}-\frac{1}{4\pi|x-y^*|}\); mit \(y^* = (-x_1,x_2,x_3)\)

Spiegelladung Aussenraum einer Kugel:
\(4\pi \varphi = \frac{Q}{|x-y|} + \frac{Q^*}{|x-y^*|} + \frac{Q'-Q^*}{|x|}\)
Mit \(Q^* = -Q\frac{R}{y}\)  und  \(Q'\) die Ladung der Kugel.

Q: [...]
[...]\(=\)[...]
A: Feldenergie in Kapazitätssystem:; \(W = \frac 12 \int d^3x (\nabla \varphi)^2 = \frac 12 \sum_{ij}^n V_i V_j \int \nabla \varphi_i \nabla \varphi_j\); \( \frac 12 \sum V_iV_j C_{ij}\)

Q: Bedeutung Kapazitätskoeffizienten:
[...]
A: \(C_{ij}\) : Ladung induziert auf \(i\) durch Potential auf \(j\)

Q: Tailorentwicklung für \(r= |x| >> R \) mit \(x' \in B_R\)
[...] \(=\) [...]
A: \(\frac{1}{|x-x'|} \); \(\sum_{l=0}^\infty \frac{-1^l}{l!}(x' \nabla)^l \frac 1 r\)

Q: Multipolentwicklung:
[...]{r^5}\)}}
A: \(4\pi\varphi(x) = \frac er + \frac{px}{r^3} + 1/2 \sum_{ij=1}^3 T_{ij}\frac{x_ix_j -1/3 x^2 \delta_{ij

Multipolmomente:
\(e= \int \rho\)
\(p = \int x' \rho(x')\)
\(Q_{ij}=T_{ij} - \frac 1 3 tr(T) \delta_{ij}\) mit \(T_{ij} = 3 \int x'_ix'_j \rho(x')\)

Q: Sphärische Multipolentwicklung:
[...]{r^l+1}\)}}
und
[...]r'^l \rho\)}}
A: \(\varphi = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \frac{1}{2l+1} q_{lm}\frac{Y_{lm; \(q_{lm} = \int \bar{Y_{lm