Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche9

Q: Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren?
A: \[A = \frac{1}{\sqrt 2} (x + \frac{d}{dx}), A^{\ast} = \frac{1}{\sqrt 2} (x - \frac{d}{dx} )\]

Lemma: Für \(\varphi, \psi \in \mathscr{S}(\mathbb{R})\), \(\phi_n = 2^{-\frac{n}{2} } H_n(x) e^{-\frac{x^2}{2} }\)
1. \(A A^{\ast} - A^{\ast}A\) = 1
2. (\(A^{\ast} \varphi, \psi)\) = \((\varphi, A \psi)\)
3. \(A \phi_0\) = 0
4. \(A^{\ast} \phi_n\) = \(\phi_{n+1}\)
Back Extra: Beweis durch Einsetzen und partielle Integration und Produktregel Ableitung (4)

Q: [...] = [...]
A: \([A, (A^{\ast})^n]\); \(n (A^{\ast})^{n-1}\)

Q: \(\mathscr{S} (\mathbb R)\) ist [...] in \(L^2(\mathbb{R}),\) d.h.
A: dicht
Back Extra: \[\forall f \in L^2 (\mathbb R) \forall \varepsilon > 0 \exists \varphi \in \mathscr{S}(\mathbb R): || f - \varphi ||_2 < \varepsilon\]

Q: Definition: Das [...] ist [...]
A: l-te Legendre-Polynom; \[P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dx^l}(x^2 - 1)^l\]

Für Legendre Polynome \(P_l(x)\) gilt:
1. deg(\(P_l\)) = \(l\)
2. \(\int_{-1}^1 P_l(x) P_{l'}(x) dx\) = \(\frac{2}{2l+1} \delta_{l l'}\)
3. \(P_l(1)\) = 1
Back Extra: 3. Ist hier die Normierungsbed.
Beweisskizze 2.:
- O.B.d.A. \(l \geqslant l'\)
- \(l\) mal partiell integrieren, Randterme verschwinden, da zu oft abgeleitet \(\implies\)für \(l \gt l'\) haben wir 0
- für \(l = l'\) müssen wir für \(I_l = \int_{-1}^1 1 \cdot (x^2 -1)^l dx\) durch partielle Integration die Rekursionsformel \(I_l = -\frac{2l}{2l+1} I_{l-1}\)finden und daraus den abs. Ausdruck.

Q: Sei \(L\) der Operator s.d. \(Lu = \frac{d}{dx} \bigg( (x^2-1) \frac{d\bar{u} }{dx} \bigg)\). Dann:
1. Die Legendrepolynome \(P_l\) sind [...].
2. Die [...] bilden [...]
A: Eigenvektoren von \(L\) zu den Eigenwerten \(l(l+1)\), also \(L P_l = l(l+1)P_l\); \(\sqrt{ \frac{2l+1}{2} } P_l\); eine ONB von \(L^2([-1,1]).\)