Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche1

Q: Sei \(X\) eine Menge. Eine Menge \(\mathcal{A} \neq \varnothing\) von Teilmengen von \(X\) heisst [...], falls
- [...],
- [...]
A: \(\sigma\)-Algebra; \(A\in \mathcal{A} \Rightarrow A^c (:= X \:\backslash\: A) \in \mathcal{A}\); \((A_n)^\infty_{n=1}\) Folge in \(\mathcal{A} \Rightarrow \bigcup^\infty_{n=1} A_n \in \mathcal{A}\)

Folgerungen zu \(\sigma\)-Algebra
Ist \(\mathcal{A}\) eine \(\sigma\)-Algebra und \(A,B \in \mathcal{A}\), dann ist auch \(A\cup B \in \mathcal{A}\).
(Beweisidee: Nehme \(A_1 = A, A_i = B, i\geq 2\).)
Ebenso \(A\cap B = (A^c\cup B^c)^c\), \(X = A\cup A^c\), \(\varnothing = X^c\), \(A\:\backslash\:B = A\cap B^c\).
Ist \((A_n)^\infty_{i=1}\) eine Folge in \(\mathcal{A}\), so ist \(\bigcap_{n=1}^\infty A_n = (\bigcup^\infty_{n=1}A^c_n)^c\in \mathcal{A}\)

Ein Mass auf einer \(\sigma\)-Algebra \(\mathcal{A}\) von Teilmengen von \(X\) ist eine Funktion \(\mu:A\rightarrow [0,\infty]\) mit den Eigenschaften:
- \(\mu(\varnothing) = 0\),
- \((A_n)^\infty_{n=1}\) Folge in \(\mathcal{A}\) mit \(A_i\cap A_j = \varnothing\; (i\neq j)\Rightarrow \mu(\bigcup^\infty_{n=1}A_n) = \sum^\infty_{n=1}\mu(A_n)\).

Q: Beispiel: Zählmass
Sei \(\mathcal{A}=\mathcal{P}(X) = \{alle\; Teilmengen\; von\; X\}\).
A: \[\mu(A)=\begin{cases}\text{Anzahl Elemente von A}, & \text{falls }A \text{ endlich ist,}\\ \infty & \text{sonst.}\end{cases}\]

Sei \(\mu\) ein Mass auf \(\mathcal{A}\). Dann
1. \(A,B\in \mathcal{A}, A\subset B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B) \)
2. \((A_i)_{i=1}^\infty\) Folge in \(\mathcal{A}\) \(\Rightarrow \mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_i) \leq \sum_{i=1}^\infty\mu(A_i)\)

Ein Quader ist eine Menge der Form\[R=[a_1,b_1]\times\ldots\times [a_n,b_n],\;\;\;a_i\leq b_i\]Das Volumen von \(R\) ist \(\vert R \vert = \prod_{i=1}^\infty (b_i-a_i)\).
Definiere die Funktion \(\mu^\ast : \mathcal{P}(\mathbb{R}^n) \rightarrow [0,\infty]\) durch \[\mu^\ast(A)=\text{inf}\bigg\{\sum_{i=1}^\infty \vert R_i \vert\;\bigg\vert R_i \text{ Quadern, } \bigcup_{i=1}^\infty R_i \supset A\bigg\} \]Diese Funktion heisst Lebeguesche äussere Mass.

Q: Eine Menge \(A\) mit [...] heisst [...].
A: \(\mu^\ast(A)=0\); Nullmenge

Q: Ein äusseres Mass ist eine Funktion \(\mu^\ast:\mathcal{P}(A) \rightarrow [0,\infty]\), die die folgende Eigenschaften hat:
1. \(\mu^\ast(\varnothing) = [...]\)
2. \(A\subset B \Rightarrow [...]\)
3. \(\mu^\ast\bigg(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\bigg) \leq [...]\)
Was wird bei einem Mass anders verlangt?
A: 0; \mu^\ast(A)\leq\mu^\ast(B); \sum_{i=1}^\infty\mu^\ast(A_i)
Back Extra: Bei 3. wird die Gleichheit verlangt.

Q: Eine Menge E heisst [...], falls für alle \(A\subset\mathbb{R}^n\) gilt: \(\mu^\ast(A)=[...]\).
A: (Lebesgue-) messbar; \mu^\ast(A\cap E)+\mu^\ast (A\cap E^c)

1. Die Lebesgue messbaren Mengen bilden eine \(\sigma\)-Algebra \(\mathcal{A}\).
2. Die Einschränkung \(\mu\) von \(\mu^\ast\) auf \(\mathcal{A}\) ist ein Mass.
3. Alle offenen und alle abgeschlossenen Mengen sind Lebesgue messbar und \(\mu(R)=\vert R \vert\) für alle Quadern \(R\).
4. Nullmengen sind messbar und haben Mass null.

Q: Das Lebesgueschen Mass eines Produktes von beliebigen (geschlossenen, halboffenen oder offenen) Intervallen ist ebenfalls [...].
A: das Produkt ihrer Längen

Q: Def: \(f:E\rightarrow \mathbb{R}\) heisst messbar, falls [...] für [...].
\(f:E\rightarrow \mathbb{C}\) heisst messbar, falls [...]
A: \(f^{-1}(I) = \{x\in E\vert f(x) \in I\} \) messbar ist; alle Intervalle \(I\); Realteil \(\text{Re}(f)\) und Imaginärteil \(\text{Im}(f)\) messbar sind.

Q: Messbar sind:
- [...] Funktionen
- [...] von messbaren Funktionen
- [...] von Folgen messbarer Funktionen
A: Stetige; Summen und Produkte; Punktweise Grenzwerte

Q: Def: Die [...] einer Menge \(A\subset\mathbb{R}^n\) ist die Funktion\[\chi_A(x)= [...]\]
A: charakteristische Funktion; \begin{cases}1 & \text{falls } x \in A \\ 0 & \text{falls } x\notin A \end{cases}

Q: Funktionen der Form \[\varphi (x) = [...]\]wobei \(\lambda_i\in\mathbb{R}\) und \(E_i\subset E\) messbaren Mengen sind und o.B.d.A. \(E_i \cap E_j = \varnothing,\;\;\; i \neq j\), heissen [...] oder [...].
A: \sum_{i=1}^m\lambda_i\chi_{E_i}(x); einfach; Treppenfunktionen

Q: Def: Sei \(\varphi(x)=\sum_{i=1}^m\lambda_i\chi_{E_i}(x)\) eine einfache Funktion mit \(\mu(E_i)<\infty\) für \(i=1,\ldots,m\).
Das Integral von \(\varphi\) ist die Zahl\[\int_E\varphi(x) \;dx := [...]\]Der Wert des Integrals hängt nur von [...] ab und nicht von ihrer Darstellung als Linearkombination von char. Fkt.
A: \sum_{i=1}^m \lambda_i \mu(E_i); \(\varphi\)

Q: Falls \(\varphi = \sum_{i=1}^m\lambda_i\chi_{E_i}\) mit positiven Koeffizienten \(\lambda_i\) und \(\mu(E_i)=\infty\) für ein \(i\), dann setzt man\[\int_e\varphi(x) \;dx = [...]\]
A: \infty

Q: - Seien \(\varphi_1,\;\varphi_2 : E \rightarrow \mathbb{R}\) einfache Funktionen, und es gelte für alle \(x\in E\;\; \varphi_1(x)\leq \varphi_2(x)\). Dann ist [...].
- Sei \(f \geq 0\) messbar. Dann existiert eine Folge \(\varphi_i\) von einfachen Funktionen mit [...] und [...] für alle \(x\in E\).
A: \(\smallint_E \varphi_1\;dx \leq \smallint_E \varphi_2\;dx\); \(0\leq\varphi_i(x)\leq\varphi_{i+1}(x)\); \(\lim_{i\rightarrow\infty} \varphi_i(x) = f(x)\)

Def: Sei \(f\geq0\) messbar, \(\varphi_i\) eine Folge von von einfachen Funktionen mit \(0\leq\varphi_i(x)\leq\varphi_{i+1}(x)\) und \(\lim_{i\rightarrow\infty}\varphi_i(x) = f(x)\).
Der Grenzwert \[\int_Ef(x)\;dx = \lim_{i\rightarrow\infty}\int_E\varphi_i(x)\;dx\in[0,\infty] \]ist unabhängig von der Wahl der Folge \(\varphi_i\).
Ist \(\smallint_Ef(x)\;dx < \infty\), dann heisst \(f\) (Lebesgue-) integrierbar und \(\smallint_Ef(x)\;dx\) das Lebeguesche Integral von \(f\).

Def. Sei \(f:E\rightarrow\mathbb{R}\) messbar und sei \[f_\pm = \max\{\pm f(x),0\} \]Die Funktionen \(f_\pm\) sind messbar und nicht negativ.
\(f\) heisst (Lebesgue-) integrierbar, falls \(f_\pm\) integrierbar sind.
Das Integral von \(f\) ist dann\[\int_Ef(x)\;dx = \int_Ef_+(x)\;dx - \int_Ef_-(x)\;dx \]

Q: Def: \(f:E\rightarrow\mathbb{C}\) heisst integrierbar, falls [...].
Das Integral von \(f\) ist dann\[\int_Ef(x)\;dx = [...]\]
A: Realteil und Imaginärteil integrierbar sind; \int_E\text{Re}(f(x))\;dx + i \int_E\text{Im}(f(x))\;dx

Q: Sei \(f:E\rightarrow\mathbb{C}\) messbar.
Dann ist \(\vert f \vert\) [...] und \(f\) ist genau dann integrierbar, falls [...], d.h. wenn [...].
A: messbar; \(\vert f \vert\) integrierbar ist; \(\smallint_E\vert f(x)\vert\;dx < \infty\)

Q: Def: Eine Eigenschaft \(P(x)\) von Punkten in \(E\) gilt fast überall (f.ü.) oder für fast alle \(x\in E\), falls\[[...] = [...]\]
A: \mu^\ast(\{x\vert P(x) \text{ gilt nicht}\}); 0

Seien \(f,g\) integrierbar, \(\alpha, \beta \in \mathbb{C}\). Dann gilt:
1. \(\alpha f + \beta g\) ist integrierbar und \(\int_E(\alpha f(x) + \beta g(x))\;dx = \alpha\int_E f(x)\;dx + \beta\int_E g(x)\;dx\)
2. \(f\leq g \Rightarrow \smallint_Ef(x)\,dx \leq \smallint_Eg(x)\,dx\)
3. \(f(x) = g(x) \text{ f.ü.}  \Rightarrow \smallint_Ef(x)\,dx = \smallint_Eg(x)\,dx\)
4. \(\smallint_E\vert f(x)\vert\, dx = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0 \text{ f.ü.} \)
5. \(\vert\smallint_Ef(x)\,dx\vert \leq \smallint\vert f(x)\vert\,dx\)
6. Ist \(F\subset E\) messbar, so ist die Einschränkung von \(f\) auf \(F\) ebenfalls integrierbar, und es gilt \(\smallint_Ff(x)\,dx = \smallint_Ef(x) \chi_F(x)\,dx\).
7. \(f\) Riemann-integrierbar auf \([a,b]\Rightarrow\)\(f\) Lebesgue-integrierbar und das Lebesguesche Integral stimmt mit dem Riemannschen überein.
8. Für alle affinen Transformationen \(x\rightarrow Ax+b\) von \(\mathbb{R}^n\), mit \(A\in\text{GL}(n,\mathbb{R})\), ist \(x\mapsto f(Ax+b)\) integrierbar und es gilt \(\smallint_{\mathbb{R}^n}f(x)\,dx = \vert \det A\vert\smallint_{\mathbb{R}^n}f(Ax+b)\,dx\).

Q: Satz von der monotonen Konvergenz
Sei \(f_i\) eine Folge integrierbarer Funktionen mit [...] für alle \(x\in E\), mit \(E\subset \mathbb{R}^n\) messbar.
Ist die Folge \(\smallint_Ef_i(x)\,dx\) [...], so ist \(f\) integrierbar und es gilt\[[...]\]
A: \(0\leq f_i(x)\leq f_{i+1} \rightarrow f(x)\;(i\rightarrow\infty)\); beschränkt; \lim_{i\to\infty}\int_Ef_i(x)\;dx = \int_E f(x)\;dx

Q: Satz von der majorisierten / dominierten Konvergenz
Sei \(f_i\) eine Folge integrierbarer Funktionen mit \(\lim_{i\to\infty}f_i(x) = f(x)\) und es existiere eine integrierbare Funktion \(g\) mit \([...]\).
Dann ist \(f\) integrierbar und es gilt\[[...]\]
A: \vert f_i(x)\vert \leq g(x) \;\forall i,x; \lim_{i\to\infty}\int_E f_i(x)\;dx = \int_E f(x)\; dx

Lemma für Fubini
Sei \(f\) eine messbare Funktion auf \(E\times F\), mit \(E\subset\mathbb{R}^n\), \(F\subset\mathbb{R}^m\).
Dann ist die Funktion \(f_y:x\mapsto f(x,y)\) für fast alle \(y\in F\) messbar.
Ebenso ist die Funktion \(f_x:y\mapsto f(x,y)\) für fast alle \(x\in E\) messbar.
Falls \(f\geq 0\), so sind also für fast alle \(y\) (bzw. fast alle \(x\)) die folgenden Integrale definiert:\[\phi(y):=\int_Ef_y(x)\;dx = \int_Ef(x,y)\;dx \in[0,\infty]\;\;\;\;\; \psi(x) := \int_F f_x(y)\;dx = \int_Ff(x,y)\;dx \in[0,\infty]\]

Theorem von Fubini
Beachte das entsprechende Lemma.
Sei \(f\) eine messbare Funktion auf \(E\times F\).
Dann gilt:
1. Falls \(f\geq 0\), so sind die Funktionen \(\phi\) und \(\psi\) messbar und es gilt\[\int_F\bigg( \int_Ef(x,y)\;dx \bigg) \;dy = \int_F\phi(y)\;dy = \int_{E\times F} f(x,y)\;dxdy = \int_E\psi(x)\;dx = \int_E \bigg( \int_Ff(x,y)\;dy \bigg)\;dx \in [0,\infty]\](Beliebige Vertauschung)
2. Ist \(f\) komplexwertig und ist \(\smallint_F(\smallint_E\vert f(x,y) \vert \,dx) \,dy < \infty\) oder \(\smallint_E(\smallint_F\vert f(x,y)\vert \,dy )\,dx < \infty\), so ist \(f\) über \(E\times F\) integrierbar, also \[\int_{E\times F}\vert f(x,y)\vert \; dxdy < \infty\]
3. Ist umgekehrt \(f\) komplexwertig und über \(E\times F\) integrierbar, so sind \(f_y\) für fast alle \(y\) und \(f_x\) für fast alle \(x\) integrierbar, und \(\phi\) und \(\psi\) sind integrierbar, und es gilt wieder die Gleichung von 1.