Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche_10

Q: Schwingung auf einer Kreisförmigen Membran AWP:
A: \[\Delta u(x) = -\frac{\omega^2}{c^2} u(x)\]\[u(x) = 0 \text{ für } |x|=R\]

Q: Laplace Operator in Polarkoordinaten
A: \[\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\]Was ist das?

Q: Knotenlinien erste 4 Eigenschwingungen der Schwingung as einer kreisf. Membran?
A: Was wird hier dargestellt?

Q: Eigenschwingungen der Schwingung einer kreisf. Membran (Funktion)?
A: \[u(r, \varphi) = J_m \bigg( \frac{x_{m,n} r}{R} \bigg) ( A \cos(m \varphi) + B \cos(m \varphi) )\]Was beschreibt  diese Funktion?

Q: Polarkoordinaten?
A: \[x_1 = r \cos \varphi\]\[x_2 = r \sin \varphi\]

Q: Kugelkoordinaten?
A: \[x_1 = r \sin \theta \cos \varphi\]\[x_2 = r \sin \theta \sin \varphi\]\[x_3 = r \cos \theta\]

Q: Laplace Operator in Kugelkoordinaten?
A: \[\Delta = \partial_{r^2} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^2}\]\[\Delta_{S^2} = \partial^2_{\theta} + \cot(\theta) \partial_{\theta} + \frac{1}{\sin^2(\theta)} \partial^2_{\varphi} = \frac{1}{\sin(\theta)} \partial_{\theta}[\sin(\theta) \partial_{\theta}] + \frac{1}{\sin^2(\theta)}\partial_{\varphi}^2\]Was ist das?

Q: Koordinateninvariante Definition von \(\Delta_{S^{n-1} }\)
A: \[f: S^{n-1} \to \mathbb{C} \text{ eine } C^2 \text{ Funktion }, \tilde{f}: \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \tilde{f} = f\bigg( \frac{x}{|x|} \bigg)\]\[\text{Dann } \Delta_{S^{n-1} }f = (\Delta \tilde{f} ) \biggr\rvert_{t = 0}\]Was bedeuted das?

Q: Definition: Eine \(C^2\) Funktion \(f\) heisst [...], falls [...].
A: harmonisch; \(\Delta f = 0\)

Q: Definition [...]\([...] = [...]\). Was folgt für so ein Polynom \(p \in \mathbb{C} [x_1, \dots , x_n] \biggr\vert_{=l}\)?
A: homogenes harmonisches Polynom vom Grad l:; \mathbb{C} [x_1, \dots , x_n] \biggr\vert_{=l}; \{ f(x) = \sum_{|\alpha| = l} c_{\alpha} x^{\alpha} | c_{\alpha} \in \mathbb{C} \}
Back Extra: \[p(\lambda x) = \lambda^l p(x)\]

Q: Definition: Die [...] sind die [...].
A: Kugelfunktionen vom Grad \(l\); Einschränkungen der harmonischen Polynome vom Grad \(l\) auf \(S^{n-1} \)

Q: Sei \(\mathscr{H}_l \subset \mathbb{C} [x_1, \dots, x_n]_{=l}\) der Raum der homogenen harmonischen Polynome vom Grad l.
Dann gilt \([...] = [...]\).
A: \mathbb{C} [x_1, \dots, x_n]_{=l}; \mathscr{H}_l \oplus (x_1^2, \dots, x_n^2) \mathbb{C}[x_1, \dots, x_n]_{l-2}
Back Extra: Damit können wir die Dimension der des Raumes der Kugelfunktionen \(\mathscr{H}_l\) bestimmen.

Q: Dimension des Raumes der Kugelfunktionen \(\mathscr{H}_l\) inklusive Spezialfälle \(n=2, n=3\)? (mit \(V_l = \mathbb{C}[x_1, \dots, x_n]_{=l}\))
A: \[\dim \mathscr{H}_l = \dim V_l = \dim V_{l-2} = \begin{pmatrix} n-1+l \\ n-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n-1+l-2 \\ n-1 \end{pmatrix}\]Für \(n = 2\) gilt dann: \(\dim \mathscr{H}_l = \begin{cases} 2 & l \gt 0 \\ 1 \ & l=0 \end{cases}\)
Für \(n=3\) gilt dann: \(\dim \mathscr{H}_l = 2l +1\)

Q: Definition Kugelfunktionen \(Y_{l, m} (\theta, \varphi)\) vom Grad l:
A: \[Y_{l, m}(\theta, \varphi) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{2 \pi} } \sqrt{ \frac{2l+1}{2} \frac{(l-m)!}{(l+m)!} } P_{l, m}(\cos \theta) \exp(i m \varphi)\]mit \[P_{l, m}(Z) = \frac{(1-Z^2)^{\frac{m}{2} } }{2^l l!} \frac{d^{m+l} }{dz^{m+l} } (Z^2-1)^l\]

Satz über die Kugelfunktionen \(Y_{l, m}(\theta, \varphi):\)
1. \(Y_{l, m}(\theta, \varphi): S^2 \to \mathbb{C}\) ist die Einschränkung einer homogenen harmonischen Polynoms vom Grad \(l\), nämlich \(r^l Y_{l, m}(\theta, \varphi)\) (in karthesischen Koord. geschrieben).
2. Es gilt: \(\Delta_{S^2} Y_{l, m}(\theta, \varphi) = -l (l+1) Y_{l, m}(\theta, \varphi)\)
3. Die (Polynome zu den) \(Y_{l, m}(\theta, \varphi)\) bilden eine ONB von \(\mathscr{H}_l\).
4. Die \(Y_{l, m}(\theta, \varphi), (l = 0, 1, \dots), (m = -l, \dots, +l)\) bilden eine ONB von \(L^2(S^2)\).