Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche6

Def: Ein Multiindex ist ein Element \(\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \in \mathbb{N}^n\), \((\mathbb{N} = \{0,1,2,\ldots\})\).
Notation:
\[x^\alpha = x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]\[\vert \alpha \vert =  \alpha_1 + \ldots + \alpha_n \]\[\alpha! = \alpha_1!\cdots\alpha_n!\]\[\partial_i = \frac{\partial}{\partial x_i},\;\;\;\;\, \partial^\alpha =  \partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}  =  \frac{\partial^{\vert\alpha\vert} }{\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n} } \]

Sei \(\alpha\) ein Multiindex.
Für \(X\subset\mathbb{R}^n\) setze \(C(X) = \{f:X\to\mathbb{C}\text{ stetig}\} \).
Für \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\) definiere:\[\begin{align} C^k(\Omega) &=  \{f:\Omega\to\mathbb{C}\vert \partial^\alpha f\in C(\Omega), \forall\alpha\in\mathbb{N}^n, \vert\alpha\vert \leq k\}  \\ C^\infty(\Omega) &=  \bigcap_{k=0}^\infty C^k(\Omega)  \end{align}\]

Def: Für \(\varphi \in C^\infty(\mathbb{R}^n)\) und \(\alpha,\beta \in\mathbb{N}^n\), definieren wir die Grössen\[ \Vert\varphi\Vert_{\alpha,\beta} =  \sup_{x\in\mathbb{R}^n} \vert x^\alpha\partial^\beta\varphi(x)\vert \](Bemerkung: das sind keine Normen!)
Der Schwartzraum ist der komplexe Vektorraum\[\mathscr{S}(\mathbb{R}^n) = \bigg\{\varphi\in C^\infty(\mathbb{R}^n) \bigg\vert \Vert\varphi\Vert_{\alpha,\beta} < \infty\; \forall\alpha,\beta\in \mathbb{N}^n \bigg\} \]

Q: Lemma:
\(\forall k,l\in\mathbb{N}\) ist \[\Vert\varphi\Vert_{k,l} = [...]\]eine [...].
A: \max_{\vert\alpha\vert\leq k,\, \vert\beta\vert\leq l} \Vert\varphi\Vert_{\alpha,\beta}; Norm auf dem Vektorraum \(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\)

Sei \(\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\).
Dann ist auch \(\forall\alpha,\beta\in\mathbb{N}^n,  x^\alpha\partial^\beta\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\).
Ebenso \(P(x)Q(\partial)\varphi \in  \mathscr{S}(\mathbb{R}^n) \), für alle Polynome \(P,Q\).

Q: Lemma: Seien \(\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n),\; \beta\in\mathbb{N}^n,\;k\in\mathbb{N}\).
Dann existiert eine Konstante \(c_{\beta,k} = c_{\beta,k}(\varphi)\) so dass\[[...] \leq [...]\]
A: \vert\partial^\beta\varphi(x)\vert; \frac{c_{\beta,k} }{(1+\vert x\vert^2)^k}

Q: Korollar:\[[...] \subset [...],\; \forall [...]\]
A: \mathscr{S}(\mathbb{R}^n); L^p(\mathbb{R}^n); p\in[1,\infty[

Def: Eine Folge \(\varphi_j\) in \(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\) konvergiert gegen \(\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\) falls\[\lim_{j\to\infty} \Vert\varphi_j-\varphi\Vert_{k,l} = 0\;\;\text{ für alle }k,l\in\mathbb{N} \]Man schreibt dann\[\varphi = \mathscr{S}-\lim_{j\to\infty}\varphi_j\]oder\[\varphi_j\xrightarrow{\mathscr{S} }\varphi\;\;(j\to\infty)\]Eine äquivalente Bedingung ist\[ \lim_{j\to\infty} \Vert\varphi_j-\varphi\Vert_{\alpha,\beta} = 0 \;\;\text{ für alle }\alpha,\beta\in\mathbb{N} \]

Q: Def: Eine lineare Abbildung \(F:\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\to\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\) ist [...], falls für alle [...] gilt:\[[...]\]
A: stetig; konvergenten Folgen; \varphi_j\xrightarrow{\mathscr{S} }\varphi \Rightarrow F(\varphi_j)\xrightarrow{\mathscr{S} }F(\varphi)

Lemma: Sei \(\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\). Dann gilt:
1. \((\partial_j\varphi)^\wedge(k) = ik_j\hat{\varphi}(k)\)
2. \(\partial_j\hat\varphi(k) = \frac{\partial}{\partial k_j}\hat\varphi(k) = (-ix_j\varphi)^\wedge(k)\)
3. \((\partial_j\varphi)^\vee(k) = -ik_j\check\varphi(k)\)
4. \(\partial_j\check\varphi(k) = (ix_j\varphi)^\vee(k)\)

Q: Lemma:\[[...]\Rightarrow [...]\]
A: \varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n); \hat\varphi,\check\varphi \in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)

Satz: Die lineare Abbildung\[F:\mathscr{S}(\mathbb{R}^n) \to \mathscr{S}(\mathbb{R}^n),\;\;\varphi\mapsto\hat\varphi\]ist bijektiv und stetig.
Ihre Inverse \[F^{-1}:\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\to\mathscr{S}(\mathbb{R}^n),\;\; \varphi \mapsto\check\varphi\]ist ebenfalls stetig.

Klassen von topologische Vektorräume
- Skalarprodukträume: Vektorräume mit Skalarprodukt
  - Falls vollständig: Hilberträume
- Normierte Vektorräume: Vektorräume mit Norm
  - Falls vollständig: Banachräume
- Lokalkonvexe Vektorräume: Vektorräume mit Familie von Halbnormen
  - Falls vollständig: Fréchetraum
    - Der Schwartzraum fällt in diese Kategorie

Q: Def: Eine [...] Funktion \(g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}\) ist eine Funktion mit der Eigenschaft, dass\[[...]\;\;\;\;[...]\]
A: rotationsinvariante; g(Rx) = g(x); \forall R\text{ orthogonal }(R^TR=1)

Q: Lemma: Eine Funktion \(g\) ist genau dann [...] wenn sie die Form\[g(x) = [...], \;\;\;\; \vert x\vert = [...]\]hat.
A: rotationsinvariant; f(\vert x \vert); \sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}

Lemma: Die "Oberfläche" der \((n-1)\)-dimensionale Einheitssphäre \(S^{n-1} = \{y\in\mathbb{R}^n\big\vert\vert y\vert = 1\}\) ist gegeben durch:\[\vert S^{n-1}\vert = \int_{S^{n-1} } d\Omega(y) = \frac{2\pi^{n/2} }{\Gamma(n/2)}  = \begin{cases} \frac{2\pi^k}{(k-1)!} , & n=2k\text{ gerade}  \\ \frac{2^{2k+1}\pi^kk!}{(2k)!} , & n=2k+1\text{ ungerade} \end{cases}\]

Q: Sei \(g\in L^1\) rotationsinvariant. Dann ist [...] ebenfalls rotationsinvariant.
A: \(\hat g\)

Def:\[G_n(\rho) =  \int_{S^{n-1} } e^{-i\rho y_1}d\Omega(y) \]Lemma:
1. \(G_n\) ist die Einschränkung auf \(\mathbb{R}_+ \subset\mathbb{C}\) einer ganzen holomorphen Funktion.
2. Für alle \(k\in\mathbb{R}^n\) gilt\[\int_{S^{n-1} } e^{-ik\cdot y}d\Omega(y) = G_n(\vert k\vert)\]

Q: Def: Sei \(\alpha\in\mathbb{C}\). Die [...] ist die durch die konvergente Potenzreihe\[J_\alpha(z) = [...]\]definierte Funktion der komplexen Variable \(z\).
A: Besselfunktion (erster Gattung) der Ordnung \(\alpha\); \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{j!\Gamma(j+\alpha+1)}\bigg(\frac z2\bigg)^{\alpha+2j}

Q: Satz: Sei \(n\geq 2\). Dann gilt:
1. \(G_n(\rho) = [...]\)
2. Für integrierbare rotationsinvariante Funktionen \(g\) gilt\[\hat g (k) = [...]\]In drei Dimensionen gilt also insbesondere\[\hat g(k) = [...]\]
A: (2\pi)^{n/2}\rho^{1-n/2}J_{n/2-1}(\rho); (2\pi)^{\frac n2}\vert k\vert^{1-\frac n2} \int_0^\infty g(r)J_{\frac n2 -1}(\vert k\vert r)r^{\frac n2} dr; \frac{4\pi}{\vert k\vert} \int_0^\infty g(r)r\sin(\vert k\vert r)dr