Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche4

Sei \(f\in C^\infty(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})\) und für \(x\in\mathbb{R},\; t > 0\)\[K(x,t) = \sum_{n\in\mathbb{Z} } e^{-n^2t+inx} \](Bemerkung: diese Funktion heisst Jacobische Theta-Funktion.)
Dann ist\[u(x,t)=\sum_{n\in\mathbb{Z} }e^{-n^2t+inx}f_n \stackrel{t>0}{=} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} K(x-y,t)f(y)\;dy\]eine Funktion in \(C^\infty(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\times(0,\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\times[0,\infty))\), die die Wärmeleitungsgleichung\[\frac{\partial}{\partial t}u(x,t) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,t)\]mit den Anfangsbedingungen \(u(x,t) = f(x)\) löst. Sie ist ausserdem die eindeutige Lösung dieses Anfangswertproblems.

Q: Lemma von Gauss
Sei \(f(x) = [...]\). Dann gilt\[\hat{f}(k) = [...] = [...]\]
A: e^{\frac{-x^2}{4t} }; \int_{-\infty}^\infty e^{\frac{-x^2}{4t}-ikx}\;dx; \sqrt{4\pi t}e^{-k^2t}

Def: Die Fejérschen Summen sind arithmetische Mittel von Fourier Partialsummen:\[(\sigma_Nf)(x) = \frac1N \sum_{n=0}^{N-1} (s_nf)(x)\]Also ist \[\sigma_Nf(x) = \int_0^1f(y)K_N(x-y)\;dy\]Wobei der Fejérsche Kern durch \[K_N(t) = \frac1N \sum_{n=0}^{N-1}D_n(t)\]gegeben ist.

Eigenschaften vom Féjersche Kern
1. \(K_N(t) = K_N(-t) = K_N(t+1)\)
2. \(\smallint_0^1K_N(t)\,dt = 1\)
3. \(K_N(t) = \begin{cases}\frac1N \big[\frac{\sin(N\pi t)}{\sin(\pi t)}\big]^2 & t\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Z} \\ N & t\in\mathbb{Z} \end{cases}\)
Also ist \(K_N \geq 0\).

Satz von Fejér
Sei \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\) stetig, \(L\)-periodisch mit Fourierkoeffizienten \(f_n\). Sei \(\sigma_Nf\) die \(N\)-te Fejérsche Summe\[\sigma_Nf(x) = \frac1N \sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=-n}^n f_m e^{\frac{2\pi im}{L}x} \]Dann gilt\[\lim_{N\to\infty}(\sigma_Nf)(x) = f(x)\]mit gleichmässiger Konvergenz.

Q: Def: Ein [...] ist eine [...] Linearkombination\[[...]\]
A: trigonometrisches Polynom; endliche; \sum_{n=-N}^N c_n e^{\frac{2\pi in}{L}x}

Jede stetige periodische Funktion \(f\) kann gleichmässig durch trigonometrische Polynome beliebig gut approximiert werden.

Seien \(f,g\) stetige, \(L\)-periodische Funktionen. Dann gilt:
1. \(f_n = g_n \Rightarrow f = g\)
2. \(\sum_{n\in\mathbb{Z} } \vert f_n \vert < \infty \Rightarrow f(x) = \sum_{n\in\mathbb{Z} } f_n e^{\frac{2\pi in}{L}x} \)

Def: Sei \(f\in L^1(\mathbb{R}^n)\). Die Fouriertransformierte von \(f\) ist die Funktion auf \(\mathbb{R}^n\)\[\hat{f}(k) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-ik\cdot x}\;dx\]wobei \(k\cdot x = \sum_{i=1}^n k_ix_i\).
Die inverse Fouriertransformierte von \(f\) ist\[\check{f}(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(k)e^{ik\cdot x}\;dk\]

Sei \(f\in L^1(\mathbb{R}^n)\). Dann sind die Funktionen \(\hat f, \check f\) gleichmässig stetig, und für alle \(x,k\in\mathbb{R}^n\) gilt\[\vert\hat f(k) \vert \leq \Vert f \Vert_1,\;\;\; \vert\check f(x) \vert \leq (2\pi)^{-n}\Vert f \Vert_1\]

Elementare Eigenschaften von (inverse) Fouriertransformierte
Seien \(f,g \in L^1,\;\; \alpha,\beta\in\mathbb{C}\)
1. \(\widehat{\alpha f + \beta g} = \alpha\hat f + \beta \hat g\)
2. \(\lambda \in \mathbb{R}\backslash\{0\} \Rightarrow \widehat{f(\lambda\cdot)}(k) = \vert \lambda \vert^{-n}\hat{f}(k/\lambda)\)
3. \(\hat f_y(k) = \hat f(k)e^{-iky} \), wobei \(f_y(x) = f(x-y)\)
4. \(f\hat g, \hat fg \in L^1\) und \(\smallint_{\mathbb{R}^n}\hat fg\,dx = \smallint_{\mathbb{R}^n}f\hat g\,dx\)
5. \(\overline{\hat{f}(k)} = \hat{\bar{f} }(-k)\)
6. \(f \in C^1(\mathbb{R}^n)\) und \(f,\partial_jf \in L^1(\mathbb{R}^n) \Rightarrow \widehat{\partial_jf} = ik_j\hat{f} \). Ebenso \(x_1f,\ldots,x_nf,f\in L^1(\mathbb{R}^n) \Rightarrow \hat{f}\in C^1(\mathbb{R}^n)\) und \(\partial_j\hat{f} = \widehat{(-ix_jf)} \).