Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche_12

Satz: Approximation der Delta-Funktion
Sei \(f\in L^1(\mathbb{R}^n)\), \(\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\,dx = 1\), und sei \[f_j(x) = f(jx)j^n,\;\;\;\; j=1,2,3,\ldots\]Dann konvergiert die Folge \(f_j\) (als Folge von Distibutionen) gegen \(\delta\).

Def: Eine Fundamentallösung für einen Differenzialoperator \[L= \underset{\vert\alpha\vert\leq N}{\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n} } a_\alpha\partial^\alpha\]mit konstanten Koeffizienten \(a_\alpha\) ist eine Distribution \(E\in\mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\), die die Gleichung \[LE = \delta\]erfüllt.

Lemma: Greensche Identität
Sei \(D\) ein beschränktes Gebiet in \(\mathbb{R}^n\) mit glattem Rand \(\partial D\) und nach aussen weisendem Einheitsvektoren \(n(x), x\in\partial D\).
Für alle \(u,v\in C^2(D\cup\partial D)\) gilt dann\[\int_D(\triangle uv - u\triangle v)\;dx = \int_{\partial D}\bigg(\frac{\partial u}{\partial n}v-u\frac{\partial v}{\partial n}\bigg)\;d\Omega(x)\]wobei \(\frac{\partial}{\partial n} = \small\sum_{i=1}^nn_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i} \) die Ableitung in normaler Richtung bezeichnet, und \(d\Omega(x)\) das Oberflächenmass auf \(\partial D\) ist.

Satz:
Sei \(n\geq 2\). Die Funktion \[E(x) = \begin{cases} \frac{\Gamma(n/2)}{2\pi^{n/2}(2-n)}\vert x\vert^{-n+2} , & n\geq 3, \\ \frac{1}{2\pi}\ln\vert x\vert, & n=2, \end{cases}\]ist Fundamentallösung für den n-dimensionalen Laplace-Operator, d.h. sie erfüllt (als Distribution) die Gleichung \[\triangle E = \delta\]

Q: Beispiele: Fundamentallösung des Laplace-Operators
- \(n = 3\): \(E(x) = [...]\)
- \(n= 4\): \(E(x) = [...]\)
A: -\frac 1{4\pi\vert x\vert}; -\frac1{4\pi^2\vert x\vert^2}

Vektorrechnung
Sei \(u:D\to\mathbb{C},\;V:D\to\mathbb{C}^n\).
Dann:
- \(\text{grad}(u) = \triangledown u = \begin{pmatrix}\partial_1u\\ \vdots \\ \partial_nu\end{pmatrix}:D\to\mathbb{C}^n\)
- \(\text{div}(V) = \triangledown\cdot V = \partial_1V_1 + \ldots+\partial_nV_n\)
Rechenregeln:
- \(\triangledown(u\tilde{u}) = \begin{pmatrix}\vdots\\ \partial_j(u\tilde{u}) \\ \vdots\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\vdots\\ \partial_j(u)\tilde{u} + u\partial_j\tilde{u} \\ \vdots\end{pmatrix} = (\triangledown u)\tilde{u} + u\triangledown\tilde{u} \)
- \(\triangledown\cdot(uV) = \sum_{j=1}^n\partial_j(uV_j) = \sum_{j=1}^n\bigg[(\partial_j u)V_j+u\partial_jV_j\bigg] = (\triangledown u)\cdot V + u(\triangledown\cdot V)\)
- \(\triangle u = \sum_{j=1}^n\partial_j^2u = \triangledown\cdot \begin{pmatrix} \partial_1 u \\ \vdots \\ \partial_nu\end{pmatrix} = \triangledown\cdot(\triangledown u)\)

Fundamentallösung und Fouriertransformation
Sei \(L\) ein Differentialoperator.
Betrachte \(LE = \delta\) (wobei \(E\) gesucht ist) fouriertransformiert:\[\widehat{LE} = P(k)\hat E = 1\]mit \(P(k) = \sum_{\alpha\text{ Mulitindex} }a_\alpha(ik)^\alpha\)
Falls \(P(k)\) keine reellen NST hat definiert \(\hat E = \frac{1}{P(k)} \) eine Distribution und \(E = \bigg(\frac{1}{P(k)}\bigg)^\vee\).
Allgemeiner gilt dies auch, solange die Singularitäten von \(\frac{1}{P(k)}\) intbar sind.

Def: Die Laplacegleichung für die Funktion \(u\in C^2(D),\; D\subset \mathbb{R}^n\) lautet\[\triangle u(x) = 0, \;\;\;\; x\in D\]
Lösungen der Laplacegleichung heissen harmonische Funktionen.

Def:
Dirichletproblem:\[\begin{cases} \triangle u(x) = 0 & x\in D \\ u(x) = f(x) & x\in\partial D \end{cases}\]
Neumannproblem:\[\begin{cases} \triangle u(x) = 0 & x\in D \\ \frac{\partial u}{\partial n}(x) = g(x) & x \in\partial D \end{cases}\]