Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche3

Def: Eine Funktion \(f: [a,b]\to\mathbb{C}\) heisst von beschränkter Variation,
falls es eine Konstante \(V\) gibt, so dass \(\sum_{i=0}^{n-1}\vert f(x_{i+1}) - f(x_i) \vert \leq V\) für alle Einteilungen \(a=x_0<x_1<\ldots<x_n = b\).

Stückweise stetig differenzierbare Funktionen (d.h. Funktionen, die stetig diffbar sind bis auf endlich viele Sprungstellen, und in den Sprungstellen existieren die rechts- und linksseitigen Limites von \(f'\)) sind von beschränkter Variation mit \[V=\int_a^b \vert f'(x) \vert \; dx + V_s\]mit \(V_s\) die Summe der Sprunghöhen.

Sei \(f\) \(L\)-periodisch und von beschränkter Variation auf \([0,L]\), und \(s_Nf(x) = \sum_{n=-N}^N f_n \exp(2\pi inx / L)\) die \(N\)-te Partialsumme ihrer Fourierreihe.
Dann gilt:
1. \(\lim_{N\to\infty}s_Nf(x) = \frac{1}{2}(f(x+0) + f(x-0))\). Insbesondere konvergiert die FR gegen \(f(x)\) an allen Punkten wo \(f\) stetig ist.
2. Die Konvergenz ist gleichmässig auf jedem abgeschlossenen Intervall \(I\subset \mathbb{R}\), wenn \(f\) in allen Punkten von \(I\) stetig ist. (Achtung: Dies ist eine stärkere Bedingung als die Stetigkeit der Einschränkung von \(f\) auf \(I\).)

Q: Was ist das Gibbs-Phänomen?
(Auch Ringing effect oder Überschwingung genannt)
A: Die FR einer Funktion konvergiert in der Nähe einer Sprungstelle nicht gleichmässig. Für beliebig grosse \(N\) erreicht \(s_Nf\) in der Nähe der Sprungstelle einen Wert, der sich um ca. 9% der Sprunghöhe vom einseitigen Grenzwert unterscheidet. Bei steigendem \(N\) ist diese Überschwingung jedoch beliebig nahe an der Sprungstelle.

Reellwertige Darstellung der FR
Sei \(f\) eine reellwertige Fkt. in \(C^1(\mathbb{R}/L\mathbb{Z})\):\[f(x) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} f_n e^{\frac{2\pi in}{L}x}\]Dann ist \[f_n = f_{-n} \]
Definiere \(a_n,b_n\in\mathbb{R}\) durch\[f_n = \frac{1}{2}(a_n-ib_n),\;\;\;\; n\geq 0\]Die Koeffizienten gewinnt man durch:\[\begin{align} a_n &= 2\text{Re}(f_n) = \frac{2}{L} \int_0^L f(x)\cos\bigg(\frac{2\pi n}{L}x\bigg)\;dx \\ b_n &= -2\text{Im}(f_n) = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\bigg(\frac{2\pi n}{L}x\bigg)\;dx \end{align}\]

Q: Def: Die [...] einer Funktion \(f\) mit [...] ist die Funktion \[\hat{f}(k) = [...]\]
A: Fouriertransformation; \(\smallint_\mathbb{R}\vert f\vert\,dx < \infty\); \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ikx}\;dx

Poisson'sche Summationsformel
\[\sum_{n\in\mathbb{Z} }f(nL) = \frac{1}{L} \sum_{n\in\mathbb{Z} } \hat{f}\bigg(\frac{2\pi n}{L}\bigg)\]Voraussetzungen an \(f\):
- stetig
- von beschr. Variation
- intbar

Q: Def: Die [...] einer (beschränkten) Funktion \(f:X\to\mathbb{C}\) ist gegeben durch\[[...] = [...]\]
A: Supremumsnorm; \Vert f\Vert_\infty; \sup_{x\in X}\vert f(x) \vert

Die Funktionenfolge \((f_n)\) konvergiert gleichmässig gegen \(f\), falls \(\lim_{n\to\infty}\Vert f-f_n \Vert_\infty \to 0\).
Ist ferner \(f_n\) die Partialsumme einer Reihe, \(f_n = \sum_{k=1}^n h_k\) von Funktionen \(h_k:X\to\mathbb{C}\), so ist ein hinreichendes Kriterium für die gleichmässige Konvergenz der Folge der Partialsummen \(f_n\), dass die Reihe normkonvergent ist, also\[\sum_{k=1}^\infty \Vert h_k \Vert_\infty < \infty\]

1. Sei \(f_n:X\to\mathbb{C}\) eine Folge von stetigen Funktionen auf dem metrischen Raum \(X\), die gleichmässig gegen \(f:X\to\mathbb{C}\) konvergiert. Dann ist \(f\) auch stetig.
2. Sei nun \(X\subset\mathbb{R}^m\) offen, und \(f_n:X\to\mathbb{C}\) eine Folge von stetig differenzierbaren Funktionen, die punktweise gegen \(f:X\to\mathbb{C}\) konvergiert. Wir nehmen zudem an, dass die partiellen Ableitungen \(\partial_jf_n\) für jedes \(j=1,\ldots,m\) gleichmässig konvergieren. Dann ist \(f\) stetig differenzierbar und es gilt\[\partial_jf(x) = \lim_{n\to\infty} \partial_jf_n(x)\]

Sei \(X\) ein metrischer Raum und \(E\subset\mathbb{R}^n\) messbar. Sei \(f:X\times E \to \mathbb{C}\) eine Funktion, so dass \(x\to f(x,y)\) stetig ist für alle \(y\in E\), und \(y\to f(x,y)\) integrierbar ist für alle \(x\in X\). Wir setzen dann\[F(x):= \int_E f(x,y)\;dy\]
1. Es existiere eine integrierbare Funktion \(g\geq 0\) auf \(E\) (die Majorante), so dass \(\vert f(x,y) \vert \leq g(y)\) für alle \(x,y\). Dann ist die Funktion \(F\) stetig.
2. Sei nun \(X\subset\mathbb{R}^m\) offen, und seien die Funktionen \(x\mapsto f(x,y)\) für alle \(y\) stetig diffbar (in der Variable \(x\)). Sei ferner \(g\geq 0\) eine intbare Funktion auf \(E\), so dass gilt\[\vert\partial_jf(x,y)\vert\leq g(y)\]für alle \(x,y\) und \(j=1,\ldots,m\). Dann ist \(F\) stetig diffbar und es gilt\[\partial_jF(x) = \int_E\partial_jf(x,y)\;dy\]