Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche2

Q: Def: Zwei integrierbare Funktionen \(f,g\) heissen [...] falls [...].
A: äquivalent, \((f\sim g)\); \(f(x) = g(x)\) fast überall

Q: Die [...] heisst \(L^1(E)\):\[L^1(E) = [...]\]Allgemeiner für \(p\geq 1\):\[L^p(E) = [...]\]
A: Menge der Äquivalenzklassen von integrierbaren Funktionen; \bigg\{ f \text{ messbar} \bigg\vert \int_E\vert f(x)\vert\; dx < \infty \bigg\}\bigg/\sim; \bigg\{ f \text{ messbar} \bigg\vert \int_E\vert f(x)\vert^p \;dx < \infty \bigg\}\bigg/\sim

Gilt \(f_1\sim f_2\) und \(g_1\sim g_2\), so ist \(f_1 + g_1 \sim f_2 + g_2\).
Also ist die Summe von Äquivalenzklassen wohldefiniert, ebenso die Multiplikation mit komplexen Zahlen.
Also folgt, dass:
\(L^p(E)\) ist ein Vektorraum über \(\mathbb{C}\).

Def: Sei \(V\) ein komplexer Vektorraum. Eine Funktion \(\Vert\cdot\Vert : V \to [0,\infty) \) heisst Norm auf \(V\), falls:
1. \(\Vert f \Vert = 0 \Leftrightarrow f=0\)
2. \(\Vert\alpha f\Vert = \vert\alpha\vert \Vert f \Vert \;\;\; \forall\alpha\in\mathbb{C}, f\in V\)
3. \(f,g \in V \Rightarrow \Vert f+g\Vert \leq \Vert f \Vert + \Vert g \Vert\)
Ein Vektorraum, der mit einer Norm versehen ist, heisst ein normierter Vektorraum.

Def: Eine Folge \((f_i)_{i=1}^\infty\) in einem normierten Vektorraum \(V\) konvergiert gegen \(f \in V\), falls\[\lim_{i\to\infty} \Vert f_i - f \Vert = 0\]Man schreibt in diesem Falle \(\lim_{i\to\infty}f_i = f\).
Eine Folge heisst Cauchy-Folge, falls \(\forall\, \varepsilon > 0\; \exists\, N > 0\) mit\[\Vert f_i - f_j \Vert < \varepsilon \;\;\; \forall\, i,j > N\]
Ein normierter Vektorraum \(V\) heisst Banachraum, falls alle Cauchy-Folgen in \(V\) konvergieren.

Q: Für [...] ist \(L^p(E)\) ein [...].
A: alle \(p\geq 1\); Banachraum

Sei \(E \subset \mathbb{R}^n\) lokal kompakt.
Def: Der Träger (support) einer Funktion \(f:E\to\mathbb{C}\) ist die Menge\[\text{supp } f = \overline{\{x\in E \vert f(x) \neq 0 \} } \]wobei \(\overline{\{\}}\) den Abschluss in \(E\) (Menge der Häunfungspunkte in \(E\)) bezeichnet.
Wir verwenden die Notation \(C_0(E) := \{\text{stetige Funktionen auf } E \text{ mit kompakten Träger}\} \).

Q: Sei \(E\subset\mathbb{R}^n\) lokal kompakt und \(1\leq p < \infty\).
Die stetigen Funktionen mit kompakten Träger sind [...], d.h. [...].
A: dicht in \(L^p(E)\); \(\forall\,f\in L^p(E) \;\; \forall\, \varepsilon > 0 \;\, \exists g\in C_0(E)\) mit \(\Vert f-g \Vert_p < \varepsilon\)

Q: Def: Sei \(L\) eine feste positive Zahl.
Fourierreihen sind Reihen der Form\[[...]\]wobei \(x \in \mathbb{R},\; f_n \in \mathbb{C}\).
Konvergiert die Fourierreihe für alle \(x \in \mathbb{R}\), so ist [...]:\[[...]\]
A: \sum_{n=-\infty}^\infty f_ne^{\frac{2\pi in}{L}x}; die Summe \(f(x)\) periodisch mit Periode \(L\), (\(L\)-periodisch); f(x+L) = f(x)

Q: \[\frac{1}{L}\int_0^L e^{\frac{2\pi\, in}{L}x}\;dx = [...]\]
A: \begin{cases}1 & n=0 \\ 0 & n \in \mathbb{Z}\backslash\{0\}\end{cases}

Sei \(\{f_n\}_{n\in\mathbb{Z} }\) so, dass \(\small\sum_{n\in\mathbb{Z} }\vert f_n \vert < \infty\).
Dann konvergiert die Fourierreihe\[f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty f_ne^{\frac{2\pi\, in}{L}x}\]absolut und gleichmässig für alle \(x\in\mathbb{R}\) gegen eine periodische, stetige Funktion \(f\) der Periode \(L\).
Weiter gilt:\[f_n = \frac{1}{L} \int_0^Le^{-\frac{2\pi\, in}{L}x} f(x)\; dx\]\(f_n\) wird der \(n\)-te Fourierkoeffizient genannt.
Back Extra: Beachte das Minuszeichen bei der Definition von \(f_n\)!

Q: Lemma zum Beweis des Riemann-Lebesgue-Lemmas
Sei \(f \in L^1(\mathbb{R}^n)\) und definiere für \(t \in \mathbb{R}^n\) die Funktion \(f_t(x) := f(x-t)\).
Dann gilt\[\lim_{t\to 0}\Vert f_t-f \Vert_1 = [...] = [...]\]In Worten: [...].
A: \lim_{t\to 0} \int_{\mathbb{R}^n}\vert f(x-t) - f(x) \vert\; dx; 0; \(f_t\) konvergiert im Banachraum \(L^1(\mathbb{R}^n)\) gegen \(f\)

Q: Riemann-Lebesgue-Lemma
Sei \(f \in L^1(\mathbb{R}^n)\).
Dann gilt\[[...]\]wobei \(k\cdot x = [...]\) [...] bezeichnet.
A: \lim_{k\to\infty} \int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{ik\cdot x}\; dx = 0; k_1x_1 + k_1x_2 + \cdots + k_nx_n; das Skalarprodukt im \(\mathbb{R}^n\)

Q: Bemerkung: Ist \(f\) die Einschränkung auf \([0,L]\) einer periodischen Funktion von \(\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) mit Periode \(L\), dann gilt auch\[f_n = [...]\]
A: \frac{1}{L} \int_a^{a+L}e^{-\frac{2\pi\, in}{L}x} f(x)\; dx \;\;\;\; \forall a\in\mathbb{R}
Back Extra: (Integrationsgrenzen sind anders als die erste Definition, kann die Integration vereinfachen)

Q: Riemann-Lebesgue Lemma für stetige Funktionen
Sei \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\) stetig und \(L\)-periodisch.
Dann gilt\[[...]\]
A: f_n \to 0 \;\;\;\; (\vert n \vert \to \infty)

Q: Sei \(f \in C^k(\mathbb{R}/L\mathbb{Z})\) (d.h. [...]), und seien \(f_n\) die Fourierkoeffizienten von \(f\).
Dann gilt\[[...] \to [...] \;\;\;\; (\vert n \vert \to \infty)\]
A: \(f\) \(k\)-mal stetig differenzierbar und \(L\)-periodisch; \vert n \vert^k \vert f_n \vert; 0

Q: Def: Die Funktion \[[...]\]heisst [...].
A: D_N(t) = \sum_{n=-N}^N e^{2\pi\,int}; Dirichlet-Kern

Eigenschaften des Dirichlet-Kerns
1. \(D_N(t+1) = D_N(t) = D_N(-t)\)
2. \(\smallint_0^1 D_N(t)\,dt = 1\)
3. \(D_N(t) = \begin{cases} \frac{\sin(\pi(2N+1)t)}{\sin(\pi t)} , & t\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}  \\ 2N+1, & t\in\mathbb{Z}  \end{cases}\)

Wie sieht der Dirichlet-Kern für \(N=10\) aus?

Q: Sei \(f \in C^1(\mathbb{R}/L\mathbb{Z})\), und seien \(f_n\) die Fourierkoeffizienten von \(f\).
Dann gilt für alle \(x \in \mathbb{R}\):\[f(x) = [...]\]
A: \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N f_n e^{\frac{2\pi\,in}{L}x}

Q: Bemerkung: Die Fourierreihe einer [...] Funktion \(f\) konvergiert gegen \(f\) [...], wo [...].
A: stetigen; in allen Punkten; die Funktion differenzierbar ist