Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche7

Q: Besselsche Differenzialgleichung
\[[...] = 0\]
A: J''_\alpha(x) + \frac 1xJ'_\alpha(x) +\bigg(1-\frac{\alpha^2}{x^2}\bigg)J_\alpha(x)

Q: Bessel-Funktion 2. Gattung oder Neumann-Funktion
\[N_\alpha(x) = [...]\]
A: \frac{\cos(\pi\alpha)J_\alpha(x)-J_{-\alpha}(x)}{\sin(\pi\alpha)}

Satz von Morera
Sei \(D\subset \mathbb{C}\) eine offene Teilmenge und \(f:D\to\mathbb{C}\) stetig. Gilt\[\oint_\gamma f(z)dz = 0\]für jede geschlossene stückweise \(C^1\) Kurve \(\gamma\subset\mathbb{C}\), dann ist \(f\) holomorph.

Korollar: Sei \(D\subset\mathbb{C}\) offen, \(K\subset\mathbb{R}^n\) kompakt. Sei \(F:D\times K \to \mathbb{C}\) stetig.
Ist in jedem \(y\in K\) die Funktion \(z\mapsto F(z,y)\) holomorph, so ist auch die Funktion\[\begin{align}f &: D\to\mathbb C \\ z\mapsto f(z) &:= \int_KF(z,y)dy \end{align}\]holomorph.

Regularität und Abfalleigenschaften
Grundidee:
Die Regularität (Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Analytizität, ...) einer Funktion entspricht den Abfalleigenschaften ihrer Fouriertransformierten.

Q: Notation:\[[...] = [...]\]
A: C^s_0(\mathbb{R}^n); \{\text{Funktionen mit kompaktem Träger, }s\text{ mal stetig differenzierbar}\}

Q: Satz: Sei \(f\in C^s_0(\mathbb{R}^n)\).
Dann existiert eine Konstante \(c\) mit\[[...] \leq [...]\]
A: \vert\hat f(k)\vert; \frac{c}{(1+\vert k\vert)^s}

Q: Satz: Riemann-Lebesgue
\([...] \Rightarrow [...]\)
A: f\in L^1(\mathbb{R}^n); \lim_{k\to\infty}\hat f(k) = 0

Satz:
1. Sei \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\) messbar, \(C,m >0\) so dass\[\vert f(x) \vert \leq Ce^{-m\vert x\vert} ,\,\forall x\in\mathbb{R}\]Dann hat \(\hat f\) eine holomorphe Fortsetzung auf dem Streifen \(\{\vert\text{Im }k\vert < m\}\). Ebenso \(\check f\).
2. Sei \(m>0,\;f:\{z\big\vert\vert\text{Im }z\vert < m\}\to \mathbb{C}\) holomorph und es gelte für alle \(\vert\eta\vert<m\):
  1. \(f(\cdot+i\eta)\in L^1\)
  2. \(\max_{\vert\eta'\vert \leq\vert\eta\vert}\vert f(x+i\eta')\vert \xrightarrow{\vert x\vert \to\infty} 0\)
Dann existiert zu jedem \(m'<m\) eine Konstante \(C'\), so dass\[\vert\hat f(k)\vert \leq C'e^{-m\vert k\vert} \]Dasselbe gilt für \(\check f\).

Wellengleichung
Wellengleichung und Anfangswertproblem:
\[\begin{cases} \frac{1}{c^2}\partial_t^2 u - \triangle u = 0, & x\in\mathbb{R}^n,\;\; t\geq 0, \\ u(x,0) = f(x), & \\ \partial_tu(x,0) = g(x), & \end{cases}\]
Formale Lösung:
\[u(x,t) =  \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \bigg\{\hat{f}(k)\cos(\vert k\vert ct) + \frac{\hat{g}(k)}{\vert k\vert c}\sin(\vert k\vert ct)\bigg\}e^{ik\cdot x}\;dk \]

Q: Wellengleichung: endliche Propagationsgeschwindigkeit der Signale
Verschwinden \(f,g\) ausserhalb einer Region von \(\mathbb{R}^3\), die in einer Kugel von Radius \(R\) liegt, so verschwindet [...] für \(t\geq0\) ausserhalb einer Kugel von Radius [...]. Umgekehrt ist der Wert \(u(x,t)\) von \(u\) im Punkt \((x,t)\) allein durch [...].
A: \(u(\cdot,t)\); \(R+ct\); die Werte von \(f\) und \(g\) in einer Kugel von Radius \(ct\) bestimmt

Q: Huygensprinzip
Was ist der Unterschied zwischen Wellen in 2 und 3 Dimensionen? Wann gilt das Huygensprinzip?
A: In 3 Dimensionen, nur die Anfangsbedingungen auf eine Kugeloberfläche \(\vert y\vert = ct\) haben einen Einfluss auf dem Mittelpunkt zum Zeitpunkt \(t\).
In 2 Dimensionen, die ganze Kreisscheibe \(\vert y\vert \leq ct\) hat einen Einfluss.
\(\Rightarrow\) Das Huygensprinzip gilt in allen ungeraden Dimensionen \(\geq3\).