Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche5

Q: FT von Gausschen Fkt. in höhere Dimensionen
\[f(x) = e^{-\vert x \vert ^2 /2}, \;\;\; \vert x \vert ^2 = x_1^2 + \ldots + x_n^2\]Dann ist
\[\hat f(k) = [...]\]
A: (2\pi)^{n/2} e^{-\vert k \vert^2/2}

Q: Beispiel:\[\hat\chi_{[-1,1]}(k) = [...]\]
A: \frac{2\sin(k)}{k}
Back Extra: Diese Fkt ist nicht in \(L^1\)

Q: Beispiel:\[\big(e^{-m\vert x \vert}\big)^\wedge = [...]\]
A: \frac{2m}{m^2+k^2}
Back Extra: Diese Fkt ist in \(L^1\)

Q: Hermite-Funktionen
Def: \[h_n(x) = [...], \;\;\;\; n = 0,1,2,\ldots\]Hermite-Funktionen sind [...] für die Fouriertransformation:\[\hat h_n(k) = [...]\]
A: (-1)^n e^{\frac 12 x^2} \bigg(\frac d{dx}\bigg)^n e^{-x^2}; Eigenvektoren; (-i)^n(2\pi)^{1/2}h_n(k)

Q: Notationen:
\[\begin{align} B_R &= [...] \\ C_0(\mathbb{R}^n) &= [...] \end{align}\]Es gilt, dass \(C_0(\mathbb{R}^n)\) dicht in [...] liegt.
A: \{x\in\mathbb{R}^n\big\vert\,\vert x \vert \leq R\}, \;\;\;R > 0; {f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{C} \text{ stetig}, { x\vert f(x) \neq 0\} \text{ beschränkt} }; \(L^1(\mathbb{R}^n)\)

Satz:
- \(f,\hat f \in L^1 \Rightarrow f^{\wedge\vee} = f\)
- \(f, \hat f \in L^1 \Rightarrow f^{\vee\wedge} = f\)
Bemerkung: Die Gleichheit gilt in \(L^1\) (also f.ü.).
Was gilt zusätzlich für stetige Funktionen \(f\)?
Back Extra: Die Gleichung gilt dann für alle \(x\).

Q: Korollar:
- \(f\in L^1(\mathbb{R}^n), \; \hat f = 0 \Rightarrow [...]\)
- \(f\in L^1(\mathbb{R}^n), \; \check f = 0 \Rightarrow [...]\)
D.h.: \(^\wedge: L^1(\mathbb{R}^n)\to C(\mathbb{R}^n)\) ist [...], ebenso \(^\vee\).
A: f = 0 \text{ f.ü.}; f = 0 \text{ f.ü.}; injektiv

Q: Korollar:
\[[...] \Rightarrow f^{\wedge\wedge}(x) = [...]\]
A: f,\hat f \in L^1(\mathbb{R}^n); (2\pi)^nf(-x) \text{ (f.ü.)}

Plancherel-Formel
\[f,\hat f \in L^1(\mathbb{R}^n) \Rightarrow f, \hat f \in L^2(\mathbb{R}^n)\] und es gilt:
\[\Vert f \Vert_2 = (2\pi)^{-n/2} \Vert \hat f \Vert_2\]