Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche8

Q: Anfangswertproblem Wärmeleitungsgleichung
\[\begin{cases} [...], & t > 0, x\in\mathbb R^n \\ [...]. & \end{cases}\]
A: \partial_tu(x,t) - \vartriangle u(x,t) = 0; u(x,0) = f(x)

Satz: Sei \(f\) stetig und beschränkt auf \(\mathbb R^n\). Dann ist\[u(x,t) = \int_{\mathbb R^n}K_t(x-y)f(y)\;dy\]eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung in \(C^\infty(\mathbb R^n\times]0,\infty[)\) und für alle \(x\in\mathbb R^n\)gilt\[\lim_{t\to0+}u(x,t) = f(x)\]

Q: Physiker-Konvention Skalarprodukt
\[(\lambda u, \mu v) = [...]\]
A: \bar\lambda\mu\,(u,v)
Back Extra: Bei Mathematiker ist es genau umgekehrt!

Q: Wiederholung Lin. Alg.
Basis von VR \(V\): [...].
D.h. \(\forall v\in V\) existieren eindeutig definierte Konstanten \(c_j\), s.d.
- [...]
- [...]
A: Familie \((v_j)_{j\in J}\) von linear unabhängigen Vektoren in \(V\), die \(V\) erzeugt; nur endlich viele \(c_j\neq0\); \(v= \sum_{j\in J}c_jv_j\)
Back Extra: Eine solche Basis nennt man auch algebraische Basis oder Hamel-Basis.

Lemma: Schwarzsche Ungleichung
Sei \(V\) ein Vektorraum mit Skalarprodukt \((\;,\;)\) und \(f,g\in V\). Dann gilt\[ \vert(f,g)\vert  \leq \Vert f\Vert\cdot\Vert g\Vert\]mit Gleichheit genau dann, wenn \(f\) und \(g\) linear unabhängig sind.

Lemma: Sei \((f_n)_{n=1}^\infty \subset V\) eine Folge, welche gegen \(f\in V\) konvergiert.
Dann gilt für alle \(g\in V\):
1. \((f_n,g) \to (f,g)\)
2. \((g,f_n) \to (g,f)\)
3. \(\Vert f_n\Vert \to \Vert f\Vert\)
In anderen Worten, Skalarprodukt und Norm sind stetig.

Def: Eine (endliche oder unendliche) Familie \((\varphi_j)_{j\in I}\) von nichtverschwindenden Vektoren in \(V\) heisst
- orthogonal (oder orthogonales System) falls \((\varphi_j , \varphi_k) = 0\) für alle \(j \neq k\)
- orthonormiert (oder orthonormal oder orthonormiertes
System) falls zusätzlich \((\varphi_j , \varphi_j ) = 1\) für alle \(j \in I\).
- Ein orthogonales System \((\varphi_j )_j\in I\) heisst vollständig (oder maximal) falls für alle \(f \in V\)
\[(\varphi_j,f) = 0\;\;\forall j \Rightarrow f= 0\]

Def:
1. Wir nennen ein vollst. orthonormiertes System in einem Hilbertraum \(H\) auch Orthonormalbasis von \(H\).
2. \(H\) heisst separabel, falls \(H\) ein höchstens abzählbares orthonormiertes System hat.

Satz: Sei \(V\) ein Skalarproduktraum und \((\varphi_j)_{j=1}^\infty\) ein orthogonales System.
Dann gilt:
1. \(\Vert\varphi_1 + \ldots+ \varphi_n\Vert^2 = \Vert\varphi_1\Vert^2 + \ldots + \Vert\varphi_n\Vert^2 \;\;\;\; \forall n=1,2,\ldots\)      (Pythagoras)
2. Ist \((\varphi_j)\) orthonormiert, so gilt für alle \(n\in\mathbb N\)\[\sum_{j=1}^n\vert(\varphi,\varphi_j)\vert^2 \leq \Vert\varphi\Vert^2\;\;\;\;\;\; \text{Besselsche Ungleichung}\]mit Gleichheit genau dann, wenn \(\varphi\in\text{span}(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\).
3. Sei \((\varphi_j)\) orthonormiert, \(\varphi\in V\), \(n\in \mathbb N\). Die Funktion von \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb C\)\[\bigg\Vert\varphi-\sum_{j=1}^n\lambda_j\varphi_j\bigg\Vert^2\]nimmt ihr Minimum in \(\lambda_j = (\varphi_j,\varphi),\; j=1,\ldots,n\) an.

Q: Satz: Sei \(H\) ein Hilbertraum und \((\varphi_j)_{j=1}^\infty\) ein orthonormiertes System.
Folgende Aussagen sind äquivalent:
1. \((\varphi_j)_{j=1}^\infty\) ist [...]
2. \(\varphi = [...],\;\;\; \forall\varphi\in H\)     (Konvergenz in \(H\))
3. \(\Vert\varphi\Vert^2 = [...],\;\;\; \forall\varphi\in H\)     (Parseval Identität)
A: vollständig; \sum_{j=1}^\infty(\varphi_j\varphi)\varphi_j; \sum_{j=1}^\infty\vert(\varphi_j,\varphi)\vert^2

Beispiele Hilberträume
1. Jeder endlich-dim. Skalarproduktraum (\(\equiv \mathbb C^n, \mathbb R^n)\)
2. \(V = L^2(E),\;\; E\subset \mathbb R^n \text{ messbar} \) mit \((f,g) = \int_E\bar f(x) g(x)\, dx\)
3. Spezialfall: \(E = [0,1]\subset \mathbb R\): \(\varphi_j(x) = e^{2\pi ijx} \) ist für \(j\in\mathbb Z\) ein vollst. orthonormiertes System \((\varphi_j,\varphi_k) = \delta_{j,k}\)
4. \(l^2 = \big\{x=(x_1,x_2,\ldots) \big\vert \,x_j\in \mathbb C,\;\small\sum_{j=1}^\infty\vert x_j\vert^2<\infty\big\} \) mit \((x,y) = \small\sum_{j=1}^\infty \bar x_jy_j\)

Satz: Sei \((\varphi_j)_{j=1}^\infty\) eine ONB des Hilbertraums \(H\).
Dann hat man ein linearer Isomorphismus \(i:l^2\to H\)\[i: c = (c_j)_{j=1}^\infty\mapsto \sum_{j=1}^\infty c_j\varphi_j\]und es gilt \(\big(i(c),i(d)\big) = (c,d) \) für alle \(c,d\in l^2\).

Q: Korollar: Sei \((\varphi_j)_{j=1}^\infty\) eine ONB eines Hilbertraums \(H\).
Dann konvergiert\[\sum_{j=1}^\infty c_j\varphi_j = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^n c_j\varphi_j\]in \(H\) genau dann, wenn \[[...]\]
A: \sum_{j=1}^\infty\vert c_j\vert^2 < \infty

Satz: Sei \(f\in L^2([0,1]),\; \varphi_j(x) = e^{2\pi ijx}\;\;(j\in \mathbb Z)\) und \(c_j = (\varphi_j,f)\) der \(j\)-te Fourierkoeffizient von \(f\). Dann gilt:
1. \(f= \small\sum_{j\in\mathbb Z}c_j\varphi_j\)     (Fourierreihe)
2. \(\smallint_0^1\vert f\vert^2\,dx = \small\sum_{j\in\mathbb Z}\vert c_j\vert^2\)    (Parseval)

Q: Satz: Die Funktionen\[\psi_n(x) = [...], \;\;\;\; n= 0,1,2,\ldots\]bilden [...] von \(L^2(\mathbb R)\)
A: \pi^{-1/4}\,2^{-n/2}\,(n!)^{-1/2}\,H_n(x)e^{-x^2/2}; eine ONB

Q: Def: Vernichtungs- und Erzeugunsoperatoren
\[A= [...],\;\;\;\;\; A^\ast = [...]\]von \([...]\).
A: \frac{1}{\sqrt{2} }\bigg(x+\frac{d}{dx}\bigg); \frac{1}{\sqrt{2} } \bigg(x-\frac{d}{dx}\bigg); \mathscr S(\mathbb R) \to \mathscr S(\mathbb R)

Lemma (Operatoren): Sei \(\phi_n = 2^{-n/2}\,H_n(x)e^{-x^2/2}\).
1. \(AA^\ast - A^\ast A = 1\)
2. \(\varphi, \psi \in \mathscr S(\mathbb R) \Rightarrow (A^\ast \varphi,\psi) = (\varphi,A\psi)\)
3. \(A\phi_0 = 0\)
4. \(A^\ast \phi_n = \phi_{n+1} \)