Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche_11

Q: Satz: Additionstheorem für Kugelfunktionen
Wir betrachten zwei Punkte \(X\) und \(Y\) in \(S^2\),\[X = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi \\ \cos\theta \end{pmatrix}\hspace{1cm} Y = \begin{pmatrix}\sin\theta'\cos\varphi' \\ \sin\theta'\sin\varphi' \\ \cos\theta' \end{pmatrix}\]Sei \(\cos\mu = X\cdot Y\), also \(\mu\) [...]. Dann gilt:\[P_l(\cos\mu) = [...]\]
A: der Winkel zwischen \(X\) und \(Y\); P_l(X\cdot Y) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l \underbrace{Y_{l,m}(\theta,\varphi)\bar{Y}_{l,m}(\theta',\varphi')}_{\text{Projektor auf } \mathscr{H}_1}

Q: Elektrostatik im Inneren einer leeren Kugel
Hohlkugel mit Radius \(R\), Potential auf der Oberfläche bekannt.
Randwertproblem:\[[...]\]
Lösung:\[u(x) = [...]\]mit\[c_{l,m} = [...]\]
A: \begin{align} \vartriangle u(x) &= 0, & x\in\mathbb{R}^3,\;\;\vert x \vert \leq R \\ u(x) &= f(x), & \vert x\vert = R \end{align}; \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l c_{l,m}r^lY_{l,m}(\theta,\varphi); R^{-l}\int\overline{Y_{l,m}(\theta,\varphi)} f(\theta,\varphi)\sin\theta \;d\theta d\varphi

Q: Strömung um eine Kugel
Inkompressible Flüssigkeit, die um einer Kugel von Radius \(R\) in positive \(z\)-Richtung mit Geschwindigkeit \(v_0\) fliesst.
Randwertproblem:\[[...]\]
Lösung:\[u(x) = [...]\]Geschwindigkeitsverteilung:\[\vec v(x) = [...]\]
A: \begin{align}\vartriangle u(x) &= 0, &\vert x\vert \geq R \\ x\cdot\text{grad} u(x) &= 0, & \vert x\vert = R \\ u(x) &\sim v_0x_3, & \vert x\vert \to \infty \end{align}; v_0\bigg(1+\frac 12\bigg(\frac{R}{\vert x\vert}\bigg)^3\bigg)x_3; (0,0,v_0)-\frac{v_0R^3}{2\vert x\vert^5} (3x_1x_3,\,3x_2x_3,\,2x_3^3-x_1^2-x_2^2)

Def: Eine temperierte Distribution ist eine stetige lineare Abbildung\[\omega: \mathscr S(\mathbb R^n) \to \mathbb C, \;\;\;\; \varphi \mapsto \omega[\varphi]\]Also muss gelten:
1. \( \omega[\lambda\varphi+\mu\psi] = \lambda\omega[\varphi] + \mu\omega[\psi],\;\lambda,\mu\in\mathbb{C} \)
2. \( \varphi_n\xrightarrow{\mathscr S} \varphi \Rightarrow \omega[\varphi_n]\rightarrow \omega[\varphi] \)
Der Raum der temperierten Distributionen wird mit \(\mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\) bezeichnet.

Q: Def: Distributionen der Form [...] heissen [...].
A: \(\omega_f\) mit \(f\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\); reguläre Distributionen

Q: Notation:
\(\omega_f\) wird einfach als \([...]\) geschrieben, also \([...]\)
A: f; f[\varphi] = \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x)\;dx

Operationen auf Distributionen
- Translation:
  - \((T_a\omega)[\varphi] =  \omega[T_{-a}\varphi] \)
- Lineare Koordinatentransformation:
  - \((U_A\omega)[\varphi] = \vert\det A\vert\,\omega[U_{A^{-1} }\varphi] \)
- Multiplikation mit einer Funktion:
  - \((g\omega)[\varphi] =  \omega[g\varphi] , \text{ mit } g\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\)
- Ableitung:
  - \((\partial_\alpha\omega)[\varphi] =  (-1)^{\vert\alpha\vert}\omega[\partial^\alpha\varphi] \)
- Fouriertransformation:
  - \(\hat\omega[\varphi] = \omega[\hat\varphi]\)
  - \(\check\omega[\varphi] = \omega[\check\varphi]\)
- Faltung:
  - \((g\ast\omega)[\varphi] = (\omega\ast g)[\varphi] = \omega[\tilde{g}\ast\varphi], \text{ mit } g\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\text{ und } \tilde{g}(x) = g(-x)\)

Q: Lemma: Sei \(\theta\) die Heaviside-Funktion. Dann gilt:
\[\frac{d}{dx}\theta = [...]\]
A: \delta

Q: Satz: Die Fouriertransformation und die inverse Fouriertransformation sind [...] [...] Abbildungen\[^\wedge,^\vee: \mathscr{S}'(\mathbb{R}^n) \to \mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\]und für alle \(\omega \in \mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\) gilt \([...]\)
A: bijektive; lineare; \omega^{\wedge\vee} = \omega^{\vee\wedge} = \omega

Q: Lemma:\[\hat 1 = [...]\]Physikernotation:\[[...]\]
A: (2\pi)^n\delta; \int_{\mathbb{R}^n} e^{-ikx}\,dx = (2\pi)^n\delta

Q: Lemma: Für alle \(g\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\) gilt:\[g \ast\delta = [...]\](Im Distributionssinn)
A: g

Lemma: Seien \(f,g \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^n), \, \omega \in \mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\). Dann gilt für alle \(\alpha\in\mathbb{N}^n\):
1. \(\partial^\alpha(f\ast g) = (\partial^\alpha f)\ast g = f\ast \partial^\alpha g\)
2. \(\partial^\alpha(\omega\ast g) = (\partial^\alpha\omega)\ast g = \omega\ast\partial^\alpha g = \partial^\alpha(g\ast\omega)\)

Konvergenz in \(\mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\)
\(\mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\) ist ausgestattet mit der schwachen \(\ast\)-Topologie.
Konkret: \(\mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\) ist ein lokalkonvexer Raum mit der Familie von Halbnormen \(\{\Vert\omega\Vert_\varphi\}_{\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)}\), wobei\[\Vert\omega\Vert_\varphi:=\vert\omega[\varphi]\vert\].
Also gilt\[\omega_j\overset{\mathscr{S}'}{\underset{j\to\infty}{\rightarrow} } \omega \Leftrightarrow \forall\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n):\omega_j[\varphi]\underset{j\to\infty}{\rightarrow} \omega[\varphi] \]