Title: ETH_Sem3 / MMP_I / Woche_13

Q: Satz: Eindeutigkeit von Lösungen
1. Seien \(u_1, u_2 \in C^2(\bar D)\) mit \(D\) ein glatt berandeter Gebiet Lösungen vom Dirichletproblem. Dann folgt: \([...]\)
2. Seien \(u_1,u_2 \in C^2(\bar D)\) Lösungen vom Neumannproblem. Dann folgt: \([...]\)
A: u_1 = u_2; u_1-u_2 = \text{const.}

Q: Lemma
Sei \(u\in C^2(\bar D)\) und \(E\) die Fundamentallösung des Laplace-Operators. Dann gilt für \(x\in D\):\[[...] = \int_D [...]\;dy - \int_{\partial D}[...]\;d\Omega(y)\]
A: u(x); E(x-y)\triangle u(y); \bigg[E(x-y)\frac{\partial u}{\partial n_y}(y) -u(y)\frac{\partial}{\partial n_y}E(x-y)\bigg]

Def: Sei \(D\subset\mathbb{R}^n\) offen mit glattem Rand. Eine stetige Funktion \(G(x,y)\) auf \(\{(x,y)\in\bar D\times D\vert x\neq y\}\) heisst Greensche Funktion des Gebiets \(D\) (für den Laplace-Operator) falls:
1. \(G(x,y) = E(x-y)+v(x,y)\), mit \(E\) die Fundamentallösung und \(v\in C^2(\bar D\times D)\) und \(\triangle_xv(x,y)=0\).
2. \(G(x,y) = 0\), \(x\in\partial D\), \(y\in D\).
Insbesondere ist für \(x\neq y\) \(\triangle_xG(x,y) = 0\).

Bemerkung: Gegeben eine Greensche Fkt. erhalten wir eine Lsg. von\[\begin{cases} \triangle u(x) = f(x), &x\in D \\ u(x) = 0, & x\in\partial D \end{cases}\]durch:\[u(x) =  \int_DG(x,y)f(y)\;dy \]wenn \(\text{supp }f \subset D\) kompakt ist.

Q: Satz: Falls \(u\) eine Lösung vom Dirichletproblem ist, hat man für alle \(x\in D\)\[u(x) = [...]\]
A: \int_{\partial D}\frac{\partial G}{\partial n_y}(y,x)f(y)\;d\Omega(y)

Definition und Eigenschaften: Spiegelung um die Sphäre
Sei \(D=B_R(0) = \{x\in\mathbb{R}^n\big\vert\; \vert x\vert < R\}\). Für \(y\in D\) sei \[y^\ast =  \frac{R^2}{\vert y\vert^2}y \]Die Abbildung \(y\mapsto y^\ast\) heisst Spiegelung um die Sphäre vom Radius R.
Es gilt:
1. \(y^{\ast\ast} = y\)
2. \(\vert y^\ast\vert = R^2/\vert y \vert\)
3. \(\vert y\vert \cdot\vert x-y^\ast\vert = \vert x\vert \cdot \vert y-x^\ast\vert\)

Satz: Poisson-Formel
Sei \(D\) die Kugel \(\{x\in\mathbb{R}^n\big\vert\,\vert x\vert<R\}\) und \(f\) stetig auf \(\partial D\). Die Funktion \[u(x) = \int_{\vert y\vert=R}H(y,x)f(y)\;d\Omega(y),\;\;\;\;x\in D\]ist glatt auf \(\{x\in\mathbb{R}^n\big\vert\,\vert x\vert < R\}\), harmonisch und konvergiert gegen \(f\) wenn \(\vert x \vert \to R\).

Satz: Mittelwertprinzip
Sei \(u\) harmonisch auf einer offenen Menge \(D\subset \mathbb{R}^n\). Für jede Kugel \(B_R(x)\subset D\) gilt:\[u(x) = \frac{1}{\vert S_R(x)\vert}\int_{S_R(x)}u(y)\;d\Omega(y)\]Wobei \(S_R(x) = \{y\in\mathbb{R}^n\big\vert\,\vert x-y\vert = R\} \) die Kugeloberfläche ist.